Sphere Packing

Euclid空間の限られた領域に, どれだけ同じ大きさの球を詰め込めるか, というのが sphere packing の問題である。3次元の場合, Kepler の問題と呼ばれることもある。 この問題については, まずは, Conway と Sloane の本 [CS99] を挙げるべきだろう。 Zong の本 [Zon99] もある。

3次元の場合は, Hales により解決されたが, その概要 [Hal05] だけでも100ページを超える。更に 計算機による計算も使っている。 証明の詳細や関連する論文を集めたものとして [HF11] がある。

最近, 8次元と24次元の場合が解決されて大きな話題となった。 まず, 8次元の場合が Viazovska [Via17] により modular form を用いて解決された。その方法の拡張により, 24次元の場合が, Viazovska と Cohn ら [Coh+17] により解決された。 Hales の論文と比べると, その短さが際立つ。

この breakthrough については, 多くの人が blog などに書いている。例えば, Kalai のblog, \(n\)-Category Café, Quanta Magazine などで取り上げられている。Okounkov の [Oko23] もある。

また, 解説として Cohn の [Coh17] や de Laat と Vallentin の [LV16] がある。

更に, \(8\) 次元の場合, Romik [Rom23a] により別証が得られている。 これについても, Kalai が blog に書いている。 Romik は 複素解析に関する本 [Rom23b] の Chapter 6に, 彼の証明を書いているが, この本は自由に download できる。

高次元の場合の新しい lower bound についても最近 breakthrough [Cam+] があったようである。これについても, Kalai の blog post で知った。 Quanta の記事もある。

球面の詰め込み方としては, 同じ大きさの球面を詰め込んでから, その隙間に球面を詰め, 更にその隙間により小さな球面を詰め, という方法もある。有名なものでは Appolonian sphere packing と呼ばれるものがある。

• Apollonian sphere packing

より一般に, Kontorovich と Nakamura の [KN19] は \(S^{n}=\R ^{n}\cup \{\infty \}\) の \((n-1)\)次元球面による packing で, どの \(S^{n}\) の点のどんな小さな近傍も packing の球面と交わるようなものを \(S^{n}\) の \(S^{n-1}\)-packing と呼んでいる。そして, そのようなものの中で crystallographic sphere packing という class を定義し調べている。

• crystallographic sphere packing

Kontorovich は, Bogachev と Kolpakov と共に [BKK23] で crystallographic packing の他に Kleinian sphere packing を調べている。 Kleinian sphere packing は Kapovich と Kontorovich により [KK23] で導入されたものである。

• Kleinian sphere packing

References

[BKK23]

Nikolay Bogachev, Alexander Kolpakov, and Alex Kontorovich. “Kleinian sphere packings, reflection groups, and arithmeticity”. In: Math. Comp. 93.345 (2023), pp. 505–521. arXiv: 2203.01973. url: https://doi.org/10.1090/mcom/3858.

[Cam+]

Marcelo Campos, Matthew Jenssen, Marcus Michelen, and Julian Sahasrabudhe. A new lower bound for sphere packing. arXiv: 2312.10026.

[Coh+17]

Henry Cohn, Abhinav Kumar, Stephen D. Miller, Danylo Radchenko, and Maryna Viazovska. “The sphere packing problem in dimension 24”. In: Ann. of Math. (2) 185.3 (2017), pp. 1017–1033. arXiv: 1603.06518. url: https://doi.org/10.4007/annals.2017.185.3.8.

[Coh17]

Henry Cohn. “A conceptual breakthrough in sphere packing”. In: Notices Amer. Math. Soc. 64.2 (2017), pp. 102–115. arXiv: 1611.01685. url: https://doi.org/10.1090/noti1474.

[CS99]

J. H. Conway and N. J. A. Sloane. Sphere packings, lattices and groups. Third. Vol. 290. Grundlehren der Mathematischen Wissenschaften [Fundamental Principles of Mathematical Sciences]. With additional contributions by E. Bannai, R. E. Borcherds, J. Leech, S. P. Norton, A. M. Odlyzko, R. A. Parker, L. Queen and B. B. Venkov. New York: Springer-Verlag, 1999, pp. lxxiv+703. isbn: 0-387-98585-9.

[Hal05]

Thomas C. Hales. “A proof of the Kepler conjecture”. In: Ann. of Math. (2) 162.3 (2005), pp. 1065–1185. url: http://dx.doi.org/10.4007/annals.2005.162.1065.

[HF11]

Thomas Hales and Samuel Ferguson. The Kepler conjecture. The Hales-Ferguson proof, Including papers reprinted from Discrete Comput. Geom. 36 (2006), no. 1, Edited by Jeffrey C. Lagarias. Springer, New York, 2011, pp. xiv+456. isbn: 978-1-4614-1128-4; 978-1-4614-1129-1.

[KK23]

Michael Kapovich and Alex Kontorovich. “On superintegral Kleinian sphere packings, bugs, and arithmetic groups”. In: J. Reine Angew. Math. 798 (2023), pp. 105–142. arXiv: 2104.13838. url: https://doi.org/10.1515/crelle-2023-0004.

[KN19]

Alex Kontorovich and Kei Nakamura. “Geometry and arithmetic of crystallographic sphere packings”. In: Proc. Natl. Acad. Sci. USA 116.2 (2019), pp. 436–441. arXiv: 1712.00147. url: https://doi.org/10.1073/pnas.1721104116.

[LV16]

David de Laat and Frank Vallentin. “A breakthrough in sphere packing: the search for magic functions”. In: Nieuw Arch. Wiskd. (5) 17.3 (2016). Includes an interview with Henry Cohn, Abhinav Kumar, Stephen D. Miller and Maryna Viazovska, pp. 184–192. arXiv: 1607.02111.

[Oko23]

Andrei Okounkov. “The magic of 8 and 24”. In: ICM—International Congress of Mathematicians. Vol. 1. Prize lectures. EMS Press, Berlin, [2023] ©2023, pp. 492–545. arXiv: 2207.03871.

[Rom23a]

Dan Romik. “On Viazovska’s modular form inequalities”. In: Proc. Natl. Acad. Sci. USA 120.43 (2023), Paper No. e2304891120, 5. arXiv: 2303.13427.

[Rom23b]

Dan Romik. Topics in complex analysis. De Gruyter Graduate. De Gruyter, Berlin, [2023] ©2023, pp. ix+295. isbn: 978-3-11-079678-0; 978-3-11-079681-0; 978-3-11-079688-9. url: https://doi.org/10.1515/9783110796810.

[Via17]

Maryna S. Viazovska. “The sphere packing problem in dimension 8”. In: Ann. of Math. (2) 185.3 (2017), pp. 991–1015. arXiv: 1603.04246. url: https://doi.org/10.4007/annals.2017.185.3.7.

[Zon99]

Chuanming Zong. Sphere packings. Universitext. Springer-Verlag, New York, 1999, pp. xiv+241. isbn: 0-387-98794-0.