Relative Homological Algebra

古典的な ホモロジー代数では, projective object や injective object による resolution を考えるが, 様々な問題で projective object や injective object に類似のものが必要になる。

例えば, projective object に類似のものとして homotopically projective object (\(K\)-projective object), semiprojective object (dg projective object), Gorenstein projective object, pure projective object などがある。

Eilenber と Moore は [EM65] で一般の object の class による resolution を用いたホモロジー代数の一般化を relative homological algebra と呼んで調べているが, Chachólski, Neeman, Pitsch, Scherer [Cha+18] によると, その起源は Chevalley と Eilenber による Lie algebra の cohomology の研究 [CE48] や Andamson による 群のコホモロジーの研究 [Ada54] のようである。

今では Enochs と Jenda の本 [EJ11a; EJ11b] があるので, まずはこれを見てみるのが良いと思う。 ホモトピー論的視点からは, Dalezios の thesis [Dal19] も良いと思う。

Abelian category \(\bm {A}\) の object の class \(\cX \) が与えられたとき, \(\cX \) に属する object よる resolution を考えるときに必要になるのは cover や envelope の概念である。

• precover and cover
• preenvelope and envelope

ただ, Chen の [Che10] のように, \(\cX \)-precover や \(\cX \)-preenvelope のことを right \(\cX \)-approximation や left \(\cX \)-approximation と呼ぶ人もいる。 このように用語が統一されていないと, 文献を読むときに用語の対応を調べるのに時間が掛かってしまって, 困る。

References

[Ada54]

Iain T. Adamson. “Cohomology theory for non-normal subgroups and non-normal fields”. In: Proc. Glasgow Math. Assoc. 2 (1954), pp. 66–76.

[CE48]

Claude Chevalley and Samuel Eilenberg. “Cohomology theory of Lie groups and Lie algebras”. In: Trans. Amer. Math. Soc. 63 (1948), pp. 85–124. url: https://doi.org/10.2307/1990637.

[Cha+18]

Wojciech Chachólski, Amnon Neeman, Wolfgang Pitsch, and Jérôme Scherer. “Relative homological algebra via truncations”. In: Doc. Math. 23 (2018), pp. 895–937. arXiv: 1702.05357.

[Che10]

Xiao-Wu Chen. “Homotopy equivalences induced by balanced pairs”. In: J. Algebra 324.10 (2010), pp. 2718–2731. arXiv: 0812.0140. url: https://doi.org/10.1016/j.jalgebra.2010.09.002.

[Dal19]

Georgios Dalezios. “Relative homological algebra and exact model structures”. PhD thesis. University of Copenhagen, Feb. 2019. url: http://web.math.ku.dk/noter/filer/phd19gd.pdf.

[EJ11a]

Edgar E. Enochs and Overtoun M. G. Jenda. Relative homological algebra. Volume 1. extended. Vol. 30. De Gruyter Expositions in Mathematics. Walter de Gruyter GmbH & Co. KG, Berlin, 2011, pp. xiv+359. isbn: 978-3-11-021520-5.

[EJ11b]

Edgar E. Enochs and Overtoun M. G. Jenda. Relative homological algebra. Volume 2. Vol. 54. De Gruyter Expositions in Mathematics. Walter de Gruyter GmbH & Co. KG, Berlin, 2011, pp. xii+96. isbn: 978-3-11-021522-9.

[EM65]

Samuel Eilenberg and J. C. Moore. “Foundations of relative homological algebra”. In: Mem. Amer. Math. Soc. No. 55 (1965), p. 39.