Quasisymmetric Functions and Their Generalizations

Aguiar と Bergeron と Sottile の [ABS06] によると, quasisymmetric function の成す algebra は, Gessel が [Ges84] で考えたものらしい。 Hazewinkel の [Haz03] では, Stanley の [Sta84] も見るように書かれている。 Hopf algebra との関連については, Ehrenborg の [Ehr96] が最初らしい。

勉強するときは, Hazewinkel の survey [Haz03; Haz06] をまず見るのがよいと思う。Symmetric function や noncommutative symmetric function も含め, 詳しく説明されている。

Aguiar らは, symmetric function の成す Hopf algebra が, cocommutative combinatorial Hopf algebra の category の terminal object であることを示しているが, quasisymmetric function の成す Hopf algebra が combinatorial Hopf algebra の category の terminal object であることも示した。

• combinatorial Hopf algebra

Noncommutative symmetric function は, Gel\('\)fand らの [Gel+95] で導入されたものであるが, それらが成す Hopf algebra \(\mathrm {NSymm}\) は quasisymmetric function の成す Hopf algebra \(\mathrm {QSymm}\) の dual であることが知られている。

• noncommutative symmetric function

Hazewinkel [Haz03] によると, \(\mathrm {QSymm}\) と同じ Hopf algebra は, quasisymmetric function という名前が登場する以前に, Ditters [Dit72] により, \(\mathrm {NSymm}\) の dual として定義されていたらしい。

代数的トポロジーの視点からは, symmetric function の成す Hopf algebra \(\mathrm {Symm}\) が \(\mathrm {BU}\) の homology や cohomology と同型になることの類似を考えたくなる。 これについては, Baker と Richter の答え [BR08] がある。

• \(\Omega \Sigma \CP ^{\infty }\) のコホモロジーは, quasisymmetric function の成す Hopf algebra \(\mathrm {QSymm}\) と同一視できる。
• \(\Omega \Sigma \CP ^{\infty }\) のホモロジーは, noncommutative symmetric function の成す Hopf algebra \(\mathrm {NSymm}\) と同一視できる。

包含 \(\CP ^{\infty }\hookrightarrow \mathrm {BU}\) から, loop map \[ j: \Omega \Sigma \CP ^{\infty }\hookrightarrow \mathrm {BU} \] が誘導されるが, この写像が cohomology に誘導する写像は, 包含 \(\mathrm {Symm}\hookrightarrow \mathrm {QSymm}\) と同一視できる。

この写像 \(j\) から Thom spectrum \(M(j)\) が定義されるが, \(j\) が loop map であることから, \(M(j)\) は \(A_{\infty }\)-ring spectrum になる。 Thom isomorphism により, 環としての同型 \(H_*(M(j)) \cong H_{*}(\Omega \Sigma \CP ^{\infty })\) があるので, \(\mathrm {NSymm}\) を \(H_{*}(M(j))\) と解釈することもできる。

この Thom spectrum については, Baker と Richter により [BR08] の section 7 や [BR14] で調べられている。 これらは, Morava らの [MK; Morb; Mora] などで使われている。

\(\mathrm {QSymm}\) は, ある algebraic stack の Chow ring とも同型になる。これは Oesinghaus [Oes19] の結果である。 その algebraic stack は Jun Li により [Li01; Li02] で導入され, Abramovich ら [Abr+13] によって reformulate されたものである。

このように, symmetric function の一般化を考えるときには, combinatorial Hopf algebra として考えるのがよい。 実際, これらを含む “一般的な symmetric function” の成す Hopf algebra も, 色々考えられている。 Duchamp, Luque, Novelli, Tollu, Toumazet の [Duc+11], Novelli と Thibon の [NT10]、 Menous と Novelli と Thibon の [MNT13] などでは, 次のようなものが登場する。

• free quasisymmetric function
• word quasisymmetric function
• matrix quasisymmetric function
• set matrix quasisymmetric function

高次化についても色々考えられているようである。Hsiao と Karaali の [HK11] では, 高次の quasisymmetric function に対応する multi-graded Hopf algebra が調べられている。

• level \(\ell \) symmetric function
• level \(\ell \) quasisymmetric function

Hivert と Thiéry の [HT] では, symmetric group に関連した tower of algebra を考えることにより, quasisymmetric function や noncommutative symmetric function の新しい基底が見つけられている。Tower of algebra とは, graded algebra で, 各 homogeneous component も (別の積で) それぞれ algebra になっているものである。

• tower of algebras

より一般に, tower of algebra からできる combinatorial Hopf algebra については, Bergeron と Lam と Li の [BLL08] で調べられている。

他の一般化としては, matroid に対し, 定義されるものがある。Billera と Jia と Reiner の [BJR09] である。 Luoto の [Luo08] も見るとよい。

• matroid の quasisymmetric function

References

[Abr+13]

Dan Abramovich, Charles Cadman, Barbara Fantechi, and Jonathan Wise. “Expanded degenerations and pairs”. In: Comm. Algebra 41.6 (2013), pp. 2346–2386. arXiv: 1110 . 2976. url: https://doi.org/10.1080/00927872.2012.658589.

[ABS06]

Marcelo Aguiar, Nantel Bergeron, and Frank Sottile. “Combinatorial Hopf algebras and generalized Dehn-Sommerville relations”. In: Compos. Math. 142.1 (2006), pp. 1–30. arXiv: math/0310016. url: http://dx.doi.org/10.1112/S0010437X0500165X.

[BJR09]

Louis J. Billera, Ning Jia, and Victor Reiner. “A quasisymmetric function for matroids”. In: European J. Combin. 30.8 (2009), pp. 1727–1757. arXiv: math/0606646. url: http://dx.doi.org/10.1016/j.ejc.2008.12.007.

[BLL08]

Nantel Bergeron, Thomas Lam, and Huilan Li. “Combinatorial Hopf algebras and towers of algebras”. In: 20th Annual International Conference on Formal Power Series and Algebraic Combinatorics (FPSAC 2008). Discrete Math. Theor. Comput. Sci. Proc., AJ. Assoc. Discrete Math. Theor. Comput. Sci., Nancy, 2008, pp. 52–59. arXiv: 0710.3744.

[BR08]

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[BR14]

Andrew Baker and Birgit Richter. “Some properties of the Thom spectrum over loop suspension of complex projective space”. In: An alpine expedition through algebraic topology. Vol. 617. Contemp. Math. Amer. Math. Soc., Providence, RI, 2014, pp. 1–12. arXiv: 1207.4947. url: https://doi.org/10.1090/conm/617/12298.

[Dit72]

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[Duc+11]

G. H. E. Duchamp, J.-G. Luque, J.-C. Novelli, C. Tollu, and F. Toumazet. “Hopf algebras of diagrams”. In: Internat. J. Algebra Comput. 21.6 (2011), pp. 889–911. arXiv: 0710 . 5661. url: http://dx.doi.org/10.1142/S0218196711006418.

[Ehr96]

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[Gel+95]

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[Ges84]

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[Haz03]

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[Haz06]

Michiel Hazewinkel. “Symmetric functions, noncommutative symmetric functions and quasisymmetric functions. II”. In: Noncommutative algebra and geometry. Vol. 243. Lect. Notes Pure Appl. Math. Chapman & Hall/CRC, Boca Raton, FL, 2006, pp. 126–146. arXiv: math.QA/ 0410470.

[HK11]

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[HT]

Florent Hivert and Nicolas M. Thiéry. Representation theories of some towers of algebras related to the symmetric groups and their Hecke algebras. arXiv: math/0607391.

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Jun Li. “Stable morphisms to singular schemes and relative stable morphisms”. In: J. Differential Geom. 57.3 (2001), pp. 509–578. url: http://projecteuclid.org/euclid.jdg/1090348132.

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Jun Li. “A degeneration formula of GW-invariants”. In: J. Differential Geom. 60.2 (2002), pp. 199–293. arXiv: math/0110113. url: http://projecteuclid.org/euclid.jdg/1090351102.

[Luo08]

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[MK]

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