量子群の作用

量子群を群の一般化 (quantization) とみなすとき, 群の作用の quantum version を考えるのは自然である。 つまり, noncommutative space の “quantum transformation group” とみなすということである。 よって, 様々な数学的構造の quantum automorphism group が考えられる。 主に, graph や有限距離空間など, 組み合せ論的対象の場合が調べられているようである。

• quantum automorphism group

有限とは限らない compact metric space への compact quantum group の作用については, isometric action が考えられる。Chirvasitu の [Chi15] など。

群の作用を持つ空間を調べるのが, 変換群論あるいは equivariant topology であるが, そこで使われる道具の quantum version を考えることもできる。例えば, equivariant homology theory の quantum version がある。 de Rham cohomology の noncommutative version は cyclic homology だから, equivariant de Rham cohomology の noncommutative version は, equivariant cyclic homology である。Voigt は [Voi08] で, その equivariant cyclic homology の quantum group version を定義している。

Nest と Voigt の [NV10] によると, equivariant spectral triple の枠組みは, Sitarzの [Sit03] や Dabrowski の [Da̧b06] で確立されたようである。

「商空間」の例としては, homogeneous space が最も扱い易そうである。D’Andrea は, [DAn] で spectral triple の twisting を用いて quantum homogeneous space について考えている。

Spectral triple を Riemann 多様体の非可換版とみなし, isometry group の quantum 版を考えているのは, Goswami の [Gos09] である。その学生の Bhowmick の thesis [Bho] に基本的なところからまとめられている。 彼等による本 [GB16] もある。

• spectral triple の quantum isometry group

通常の (可換な) 多様体の quantum isometry group としてどのような quantum group が現れるか, というのは自然な疑問であるが, Goswami と Joardar [GJ18] によると, 可換な \(C^*\)-algebra, つまり, コンパクト群の \(C^*\)-algebra として得られるものしか無いようである。 彼等は, isometric という仮定を外しても faithful で smooth な action を持つのは, コンパクト群の \(C^*\)-algebra しかないと予想している。

ただ, 位相空間への作用の場合には コンパクト群の \(C^*\)-algebra でないものの faithful action は構成されている。Huang の [Hua13], Etingof と Walton の [EW14], Goswami と Roy の [GR17] など。

References

[Bho]

Jyotishman Bhowmick. Quantum isometry groups. arXiv: 0907. 0618.

[Chi15]

Alexandru Chirvasitu. “On quantum symmetries of compact metric spaces”. In: J. Geom. Phys. 94 (2015), pp. 141–157. arXiv: 1407. 0960. url: https://doi.org/10.1016/j.geomphys.2015.02.013.

[Da̧b06]

Ludwik Da̧browski. “Geometry of quantum spheres”. In: J. Geom. Phys. 56.1 (2006), pp. 86–107. arXiv: math/0501240. url: http://dx.doi.org/10.1016/j.geomphys.2005.04.003.

[DAn]

Francesco D’Andrea. Quantum Groups and Twisted Spectral Triples. arXiv: math/0702408.

[EW14]

Pavel Etingof and Chelsea Walton. “Semisimple Hopf actions on commutative domains”. In: Adv. Math. 251 (2014), pp. 47–61. arXiv: 1301.4161. url: https://doi.org/10.1016/j.aim.2013.10.008.

[GB16]

Debashish Goswami and Jyotishman Bhowmick. Quantum isometry groups. Infosys Science Foundation Series. Infosys Science Foundation Series in Mathematical Sciences. Springer, New Delhi, 2016, pp. xxviii+235. isbn: 978-81-322-3665-8; 978-81-322-3667-2. url: https://doi.org/10.1007/978-81-322-3667-2.

[GJ18]

Debashish Goswami and Soumalya Joardar. “Non-existence of faithful isometric action of compact quantum groups on compact, connected Riemannian manifolds”. In: Geom. Funct. Anal. 28.1 (2018), pp. 146–178. arXiv: 1309 . 1294. url: https://doi.org/10.1007/s00039-018-0437-z.

[Gos09]

Debashish Goswami. “Quantum group of isometries in classical and noncommutative geometry”. In: Comm. Math. Phys. 285.1 (2009), pp. 141–160. arXiv: 0704.0041. url: http://dx.doi.org/10.1007/s00220-008-0461-1.

[GR17]

Debashish Goswami and Sutanu Roy. “Faithful actions of locally compact quantum groups on classical spaces”. In: Lett. Math. Phys. 107.7 (2017), pp. 1375–1390. arXiv: 1510 . 00692. url: https://doi.org/10.1007/s11005-017-0951-1.

[Hua13]

Huichi Huang. “Faithful compact quantum group actions on connected compact metrizable spaces”. In: J. Geom. Phys. 70 (2013), pp. 232–236. arXiv: 1202.1175. url: https://doi.org/10.1016/j.geomphys.2013.03.027.

[NV10]

Ryszard Nest and Christian Voigt. “Equivariant Poincaré duality for quantum group actions”. In: J. Funct. Anal. 258.5 (2010), pp. 1466–1503. arXiv: 0902.3987. url: http://dx.doi.org/10.1016/j.jfa.2009.10.015.

[Sit03]

Andrzej Sitarz. “Equivariant spectral triples”. In: Noncommutative geometry and quantum groups (Warsaw, 2001). Vol. 61. Banach Center Publ. Polish Acad. Sci., Warsaw, 2003, pp. 231–263. url: http://dx.doi.org/10.4064/bc61-0-16.

[Voi08]

Christian Voigt. “Equivariant cyclic homology for quantum groups”. In: \(K\)-theory and noncommutative geometry. EMS Ser. Congr. Rep. Eur. Math. Soc., Zürich, 2008, pp. 151–179. arXiv: math/0601725. url: http://dx.doi.org/10.4171/060-1/6.