Quantitative Homotopy Theory

「Quantitative homotopy theory」とは, 連続写像やホモトピーを考えるときに, 連続性だけでなく様々な量がどのように変わるかも考慮しよう, という Gromov の提案である。

Fedor Manin の [Man19] によると, 1996年に Gromov が Princeton 大学に招待されて行なった一連の講演が, そのアイデアが公になった最初のようである。 その講演の内容は [Gro99] として出版されている。 F. Manin [Man16] によると, Gromov のアイデアは [Gro78] に既に現れているらしい。

確かに, TDA のような現実の問題を扱う際には, 抽象 的に定義されたものではなく, 長さや大きさも考慮して定義されたホモトピー不変量を用いた方がよいだろう。

実際, Blumberg と Mandell の [BM13] は, quantitative homotopy theory を TDA に使うための基礎付けを行なおうという試みである。

Fedor Manin [Man16] は, ホモトピー群の元を幾何学的に最適な方法で実現することを考えている。 [CMW] では, 球面の間, より一般に compact Riemann 多様体の間の写像の null homotopy を評価することを考えている。 有理ホモトピー型に関係しているようで興味深い。

また, 彼は [Man19]で, 代数的トポロジーや幾何学的トポロジーの道具は強力であるが, 最大の欠点は間接的であることだ, といっている。その beautiful example と して Nabutovsky の [Nab95] が挙げられている。

References

[BM13]

Andrew J. Blumberg and Michael A. Mandell. “Quantitative homotopy theory in topological data analysis”. In: Found. Comput. Math. 13.6 (2013), pp. 885–911. arXiv: 1309.6628. url: https://doi.org/10.1007/s10208-013-9177-5.

[CMW]

Gregory R. Chambers, Fedor Manin, and Shmuel Weinberger. Quantitative nullhomotopy and rational homotopy type. arXiv: 1611.03513.

[Gro78]

Mikhael Gromov. “Homotopical effects of dilatation”. In: J. Differential Geometry 13.3 (1978), pp. 303–310. url: http://projecteuclid.org/euclid.jdg/1214434601.

[Gro99]

Mikhael Gromov. “Quantitative homotopy theory”. In: Prospects in mathematics (Princeton, NJ, 1996). Amer. Math. Soc., Providence, RI, 1999, pp. 45–49.

[Man16]

Fedor Manin. “Volume distortion in homotopy groups”. In: Geom. Funct. Anal. 26.2 (2016), pp. 607–679. arXiv: 1410.3368. url: https://doi.org/10.1007/s00039-016-0367-6.

[Man19]

Fedor Manin. “Plato’s cave and differential forms”. In: Geom. Topol. 23.6 (2019), pp. 3141–3202. arXiv: 1801.00335. url: https://doi.org/10.2140/gt.2019.23.3141.

[Nab95]

Alexander Nabutovsky. “Non-recursive functions, knots “with thick ropes”, and self-clenching “thick” hyperspheres”. In: Comm. Pure Appl. Math. 48.4 (1995), pp. 381–428. url: https://doi.org/10.1002/cpa.3160480402.