Partition と Young tableaux

対称群に関係したことを考えると, 必ず自然数や finite totally ordered set の partition や Young tableaux (Young diagram) が現れる。代数的トポロジーでは, 例えば多重ループ空間など。

  • 自然数 \(n\) の partition
  • 自然数 \(n\) の partition の Ferrers diagram
  • 自然数 \(n\) の partition の Young tableaux
  • \(\Sigma _n\) の共役類と \(n\) の partition が1対1に対応すること。
  • \(p\)-regular partition と \(p\)-singular partition

Young tableaux の解説としては, AMS の Notices の “WHAT IS ...?” の連載にある Yong の [Yon07] がある。 また対称群の既約表現との直接の関係を解説したものとして, [VO04] がある。

Yong の解説によると, Young tableaux については, Robinson-Schensted 対応を抜きには話せない, らしい。対称群の元に対し同じ shape の Young tableau の組を対応させる規則である。

  • Robinson-Schensted 対応 (algorighm)

Lam と Shimozono の [LS07] には, algebraic combinatorics で最も重要な algorithm であると書いてある。 様々な人により一般化が考えられている。

Partition は symmetric function に密接に関係している。

よって, symmetric function の一般化を扱うために, 様々な Young tableaux の変種が考えられている。とりあえず目にしたものを列挙してみた:

  • ribbon tableaux [LLT97]
  • 列だけ考えたものやその pair [LT96]
  • domino tableaux [BK00; TV09]
  • excited Young diagram [IN09]
  • plane partition と \(3\)次元Young diagram

Berenstein と Kirillov の [BK00] によると, domino tableaux の shortest definition は Macdonald の本 [Mac95] の139ページにあるものらしい。

\(3\)次元版については, 最近数理物理でも使われている。 Okounkov と Reshetikhin と Vara の [ORV06] や Young と Bryan の [You10] など。Richard Szabo の [Sza11] では, MacMahon による plane partition の generating function の公式については, Stanley の本 [Sta99] が参照されている。§7.20 と §7.21 あたりに plane partition について書いてある。MacMahon の公式は、 Corollary 7.20.3 として書かれている。また401ページの最後の段落から, plane partition についての歴史についてまとめられている。

Govindarajar [Gov13] によると, 任意の次元で通用する高次元の partition の数え上げについては, Atkin らの [Atk+67], Bratley と McKay の [BM67], Knuthの[Knu70] などがある。

Partition の中でも noncrossing partition は様々な分野に関係があり, 一般化も考えられている。

Partition に関することを一般化しようとするときによくやるのは, Dowling analogue, つまり有限群 \(G\) の作用を考えたものである。より正確には \(\{1,\cdots ,n\}\times G\) の partition を考える。 Delucchi [Del07] によると Dowling lattice は T.A. Dowling のある種の hyperplane arrangement の intersection lattice に関する仕事 [Dow73] にちなんで名付けられたようである。

  • Dowling lattice

Dowling lattice については, この Delucchi の [Del07] に書いてある文献をみるとよい。

群の作用を持つ集合のより一般の equivariant partition を調べたものとして, Bergner らの [Ber+] がある。

  • equivariant partition

Bipartition というものもある。Foata と Zeilberger の [FZ96] で導入された。Hetyei と Krattenthaler の [HK11] で bipartition の成す poset が調べられている。

  • bipartition



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