八元数体 (Octonion)

八元数体は, 実数, 複素数, 四元数という実数の拡張の列の「最後」のものである。 かつては, Cayley数体と呼ばれることが多かったようであるが, 実際には Cayley より前に Graves により発見されていたようなので, Cayley数という名称は使わない方がよいように思う。この Graves の発見について, 私は, van der Waerden の [Wae85] で初めて知った。

八元数体と直接関係があるのは, 例外型 Lie群の構成なので, 横田一郎氏の本 [横田一71; 横田一92] をはじめとして, 関連した本に解説がある。 T.A. Springer と Veldkamp の本 [SV00] や Baez による解説 [Bae02] などもある。 Conway と Smith の本 [CS03] は, 整数論や有限群に関連した話題を用いて, 実数から八元数まで順番に解説してあり, ユニークで面白い。

八元数の構成として最も一般的なのは, 四元数の二重化によるものだろう。

Freudenthal [Fre51; Fre85] による Fano plane を用いたものも有名である。 英語では, Rausch de Traubenberg と Slupinski の [RS22] がある。

他にも, Albuquerque と Majid [AM99; AM00] による興味深いものがある。彼等は, ある monoidal category で考えると, 八元数体が associative algebra (monoid object) とみなせることを発見した。Cheng ら [Che+17] は, それに基づき, 八元数が \(\Z _2^3\)-graded なある braided tensor category での Azumaya algebra とみなすことができる, と言っている。 また Bulacu [Bul09] は, 適当な symmetric monoidal category での commutative cocommutative weak braided Hopf algebra とみなすことができる, と言っている。

例外型Lie群やLie環以外にも, 色々なところに現れるようである。Djokovic と Zhao の [DZ] では, \(\Z [t]\) 上の octonion algebra と組み合せ論との関係が書いてある。

Cawagas らの [Caw+] によると, 物理での応用については, Okubo の本 [Oku95] があるようである。

八元数の一般化としては, Bourbaki の [Bou70] の Chapter 3 の Appendix に書いてあるものがある。また Albuquerque と Majid [AM99] による, より抽象的なアプローチもある。

• generalized octonion algebra

その generalized octonion algebra の中での Fibonacci数の類似を考えている人がいる。Savin の [Sav15] である。それによると, 普通の八元数での Fibonacci octonion や Lucas octonion は, Kecilioglu と Akkus [KA15] により導入されたらしい。もちろん, 四元数でも 考えられている。

Benkart と Pérez-Izquierdo [BP00] は, split octonion の quantum version を導入している。 Bremner [Bre99] よる quantum version もあるが, 別の algebra のようである。

• quantum octonion

Loday は, [Lod12] で, 八元数体を (小さな) operad 上の algebra として記述する, という問題を提示している。 Dzhumadil’daev と Zusmanovich [DZ11] は, alternative algebra の構造を表す operad を考えているが, Loday は, それは Koszul ではないのでよくない, と言っている。 とにかく, 八元数体の operad による記述ができれば, その方向での八元数の一般化, そしてその strong homotopy version ができそうである。

この Loday の問題については, Bremner と Dotsenko [BD23] が解決したと言っている。彼等は, より一般に Kleinfeld [Kle62] により導入された associator dependent algebra を記述する Koszul operad について考えている。

• associator dependent algebra

Scheme 上の八元数体の分類について, Asok, Hoyois, Wendt [AHW19] が調べている。

• scheme 上の octonion algebra

References

[AHW19]

Aravind Asok, Marc Hoyois, and Matthias Wendt. “Generically split octonion algebras and \(\Bbb A^1\)-homotopy theory”. In: Algebra Number Theory 13.3 (2019), pp. 695–747. arXiv: 1704 . 03657. url: https://doi.org/10.2140/ant.2019.13.695.

[AM00]

Helena Albuquerque and Shahn Majid. “New approach to octonions and Cayley algebras”. In: Nonassociative algebra and its applications (São Paulo, 1998). Vol. 211. Lecture Notes in Pure and Appl. Math. New York: Dekker, 2000, pp. 1–7. arXiv: math/9810037.

[AM99]

Helena Albuquerque and Shahn Majid. “Quasialgebra structure of the octonions”. In: J. Algebra 220.1 (1999), pp. 188–224. arXiv: math/9802116. url: http://dx.doi.org/10.1006/jabr.1998.7850.

[Bae02]

John C. Baez. “The octonions”. In: Bull. Amer. Math. Soc. (N.S.) 39.2 (2002), pp. 145–205. url: http://dx.doi.org/10.1090/S0273-0979-01-00934-X.

[BD23]

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[Bou70]

N. Bourbaki. Éléments de mathématique. Algèbre. Chapitres 1 à 3. Paris: Hermann, 1970, xiii+635 pp. (not consecutively paged).

[BP00]

Georgia Benkart and José M. Pérez-Izquierdo. “A quantum octonion algebra”. In: Trans. Amer. Math. Soc. 352.2 (2000), pp. 935–968. arXiv: math/9801141. url: https://doi.org/10.1090/S0002-9947-99-02415-0.

[Bre99]

Murray Bremner. “Quantum octonions”. In: Comm. Algebra 27.6 (1999), pp. 2809–2831. url: https://doi.org/10.1080/00927879908826594.

[Bul09]

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[Caw+]

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[Che+17]

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[CS03]

John H. Conway and Derek A. Smith. On quaternions and octonions: their geometry, arithmetic, and symmetry. Natick, MA: A K Peters Ltd., 2003, pp. xii+159. isbn: 1-56881-134-9.

[DZ]

D. Z. Djokovic and K. Zhao. An octonion algebra originating in combinatorics. arXiv: 1002.2752.

[DZ11]

Askar Dzhumadil\('\)daev and Pasha Zusmanovich. “The alternative operad is not Koszul”. In: Exp. Math. 20.2 (2011), pp. 138–144. arXiv: 0906.1272. url: https://doi.org/10.1080/10586458.2011.544558.

[Fre51]

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[Fre85]

Hans Freudenthal. “Oktaven, Ausnahmegruppen und Oktavengeometrie”. In: Geom. Dedicata 19.1 (1985), pp. 7–63. url: https://doi.org/10.1007/BF00233101.

[KA15]

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[Kle62]

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[横田一92]

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