八元数体 (Octonion)

八元数体は, 実数, 複素数, 四元数という実数の拡張の列の「最後」のものである。 かつては, Cayley数体と呼ばれることが多かったようであるが, 実際には Cayley より前に Graves により発見されていたようなので, Cayley数という名称は使わない方がよいように思う。この Graves の発見について, 私は, van der Waerden の [Wae85] で初めて知った。

八元数体と直接関係があるのは, 例外型 Lie群の構成なので, 横田一郎氏の本 [横田一71; 横田一92] をはじめとして, 関連した本に解説がある。 T.A. Springer と Veldkamp の本 [SV00] や Baez による解説 [Bae02] などもある。 Conway と Smith の本 [CS03] は, 整数論や 有限群に関連した話題を用いて, 実数から八元数まで順番に解説してあり, ユニークで面白い。

八元数の構成として最も一般的なのは, 四元数の二重化によるものだろう。

Freudenthal [Fre51; Fre85] による Fano plane を用いたものも有名である。 英語では, Rausch de Traubenberg と Slupinski の [RS22] がある。

他にも, Albuquerque と Majid [AM99; AM00] による興味深いものがある。彼等は, ある monoidal category で考えると, 八元数体が associative algebra (monoid object) とみなせることを発見した。Cheng ら [Che+17] は, それに基づき, 八元数が \(\Z _2^3\)-graded なある braided tensor category での Azumaya algebra とみなすことができる, と言っている。

Alberquerque と Majid のものは, 八元数を twisted group algebra として表したものになっているが, そのような記述としては, Basak による [Bas18] もある。

• twisted group algebra として八元数

また Bulacu [Bul09] は, 適当な symmetric monoidal category での commutative cocommutative weak braided Hopf algebra とみなすことができる, と言っている。

例外型Lie群やLie環以外にも, 色々なところに現れるようである。Djokovic と Zhao の [DZ] では, \(\Z [t]\) 上の octonion algebra と 組み合せ論との関係が書いてある。

Cawagas らの [Caw+] によると, 物理での応用については, Okubo の本 [Oku95] があるようである。

八元数の一般化としては, Bourbaki の [Bou70] の Chapter 3 の Appendix に書いてあるものがある。また Albuquerque と Majid [AM99] による, より抽象的なアプローチもある。

• generalized octonion algebra

その generalized octonion algebra の中での Fibonacci数の類似を考えている人がいる。Savin の [Sav15] である。それによると, 普通の八元数での Fibonacci octonion や Lucas octonion は, Kecilioglu と Akkus [KA15] により導入されたらしい。もちろん, 四元数でも 考えられている。

Albuquerque と Majid による twisted group algebra としての構成を一般化してものとして, Morier-Genoud と Ovsienko の [MO11] がある。彼等は, \(\bbC \) 上の algebra の列 \(\mathbb {O}_{n}\) と \(\R \) 上の algebra の列 \(\mathbb {O}_{p,n-p}\) を構成している。

Benkart と Pérez-Izquierdo [BP00] は, split octonion の quantum version を導入している。 Bremner [Bre99] よる quantum version もあるが, 別の algebra のようである。

• quantum octonion

Loday は, [Lod12] で, 八元数体を (小さな) operad 上の algebra として記述する, という問題を提示している。 Dzhumadil’daev と Zusmanovich [DZ11] は, alternative algebra の構造を表す operad を考えているが, Loday は, それは Koszul ではないのでよくない, と言っている。 とにかく, 八元数体の operad による記述ができれば, その方向での八元数の一般化, そしてその strong homotopy version ができそうである。

この Loday の問題については, Bremner と Dotsenko [BD23] が解決したと言っている。彼等は, より一般に Kleinfeld [Kle62] により導入された associator dependent algebra を記述する Koszul operad について考えている。

• associator dependent algebra

Scheme 上の八元数体の分類について, Asok, Hoyois, Wendt [AHW19] が調べている。

• scheme 上の octonion algebra

References

[AHW19]

Aravind Asok, Marc Hoyois, and Matthias Wendt. “Generically split octonion algebras and \(\Bbb A^1\)-homotopy theory”. In: Algebra Number Theory 13.3 (2019), pp. 695–747. arXiv: 1704.03657. url: https://doi.org/10.2140/ant.2019.13.695.

[AM00]

Helena Albuquerque and Shahn Majid. “New approach to octonions and Cayley algebras”. In: Nonassociative algebra and its applications (São Paulo, 1998). Vol. 211. Lecture Notes in Pure and Appl. Math. New York: Dekker, 2000, pp. 1–7. arXiv: math/9810037.

[AM99]

Helena Albuquerque and Shahn Majid. “Quasialgebra structure of the octonions”. In: J. Algebra 220.1 (1999), pp. 188–224. arXiv: math/9802116. url: http://dx.doi.org/10.1006/jabr.1998.7850.

[Bae02]

John C. Baez. “The octonions”. In: Bull. Amer. Math. Soc. (N.S.) 39.2 (2002), pp. 145–205. url: http://dx.doi.org/10.1090/S0273-0979-01-00934-X.

[Bas18]

Tathagata Basak. “The octonions as a twisted group algebra”. In: Finite Fields Appl. 50 (2018), pp. 113–121. arXiv: 1702.05705. url: https://doi.org/10.1016/j.ffa.2017.11.003.

[BD23]

Murray Bremner and Vladimir Dotsenko. “Associator dependent algebras and Koszul duality”. In: Ann. Mat. Pura Appl. (4) 202.3 (2023), pp. 1233–1254. arXiv: 2203.11142. url: https://doi.org/10.1007/s10231-022-01278-8.

[Bou70]

N. Bourbaki. Éléments de mathématique. Algèbre. Chapitres 1 à 3. Paris: Hermann, 1970, xiii+635 pp. (not consecutively paged).

[BP00]

Georgia Benkart and José M. Pérez-Izquierdo. “A quantum octonion algebra”. In: Trans. Amer. Math. Soc. 352.2 (2000), pp. 935–968. arXiv: math/9801141. url: https://doi.org/10.1090/S0002-9947-99-02415-0.

[Bre99]

Murray Bremner. “Quantum octonions”. In: Comm. Algebra 27.6 (1999), pp. 2809–2831. url: https://doi.org/10.1080/00927879908826594.

[Bul09]

Daniel Bulacu. “The weak braided Hopf algebra structure of some Cayley-Dickson algebras”. In: J. Algebra 322.7 (2009), pp. 2404–2427. url: http://dx.doi.org/10.1016/j.jalgebra.2009.06.024.

[Caw+]

Raoul E. Cawagas et al. The Subalgebra Structure of the Cayley-Dickson Algebra of Dimension 32 (trigintaduonion). arXiv: 0907.2047.

[Che+17]

Tao Cheng, Hua-Lin Huang, Yuping Yang, and Yinhuo Zhang. “The octonions form an Azumaya algebra in certain braided linear Gr-categories”. In: Adv. Appl. Clifford Algebr. 27.2 (2017), pp. 1055–1064. arXiv: 1507.02094. url: https://doi.org/10.1007/s00006-016-0656-z.

[CS03]

John H. Conway and Derek A. Smith. On quaternions and octonions: their geometry, arithmetic, and symmetry. Natick, MA: A K Peters Ltd., 2003, pp. xii+159. isbn: 1-56881-134-9.

[DZ]

D. Z. Djokovic and K. Zhao. An octonion algebra originating in combinatorics. arXiv: 1002.2752.

[DZ11]

Askar Dzhumadil\('\)daev and Pasha Zusmanovich. “The alternative operad is not Koszul”. In: Exp. Math. 20.2 (2011), pp. 138–144. arXiv: 0906.1272. url: https://doi.org/10.1080/10586458.2011.544558.

[Fre51]

Hans Freudenthal. Oktaven, Ausnahmegruppen und Oktavengeometrie. Rijksuniversiteit Utrecht, Mathematisch Instituut, Utrecht, 1951, pp. i+49.

[Fre85]

Hans Freudenthal. “Oktaven, Ausnahmegruppen und Oktavengeometrie”. In: Geom. Dedicata 19.1 (1985), pp. 7–63. url: https://doi.org/10.1007/BF00233101.

[KA15]

Osman Keçilioğlu and Ilker Akkus. “The Fibonacci octonions”. In: Adv. Appl. Clifford Algebr. 25.1 (2015), pp. 151–158. url: https://doi.org/10.1007/s00006-014-0468-y.

[Kle62]

Erwin Kleinfeld. “Associator dependent rings”. In: Arch. Math. 13 (1962), pp. 203–212. url: https://doi.org/10.1007/BF01650067.

[Lod12]

Jean-Louis Loday. “Some problems in operad theory”. In: Operads and universal algebra. Vol. 9. Nankai Ser. Pure Appl. Math. Theoret. Phys. World Sci. Publ., Hackensack, NJ, 2012, pp. 139–146. arXiv: 1109.3290. url: https://doi.org/10.1142/9789814365123_0007.

[MO11]

Sophie Morier-Genoud and Valentin Ovsienko. “A series of algebras generalizing the octonions and Hurwitz-Radon identity”. In: Comm. Math. Phys. 306.1 (2011), pp. 83–118. arXiv: 1003.0429. url: https://doi.org/10.1007/s00220-011-1279-9.

[Oku95]

Susumu Okubo. Introduction to octonion and other non-associative algebras in physics. Vol. 2. Montroll Memorial Lecture Series in Mathematical Physics. Cambridge University Press, Cambridge, 1995, pp. xii+136. isbn: 0-521-47215-6. url: http://dx.doi.org/10.1017/CBO9780511524479.

[RS22]

Michel Rausch de Traubenberg and Marcus Slupinski. “Incidence geometry of the Fano plane and Freudenthal’s ansatz for the construction of octonions and split octonions”. In: Innov. Incidence Geom. 19.4 (2022), pp. 165–181. arXiv: 2203.03261. url: https://doi.org/10.2140/iig.2022.19.165.

[Sav15]

Diana Savin. “Some properties of Fibonacci numbers, Fibonacci octonions, and generalized Fibonacci-Lucas octonions”. In: Adv. Difference Equ. (2015), 2015:298, 10. arXiv: 1505.01770. url: https://doi.org/10.1186/s13662-015-0627-z.

[SV00]

Tonny A. Springer and Ferdinand D. Veldkamp. Octonions, Jordan algebras and exceptional groups. Springer Monographs in Mathematics. Springer-Verlag, Berlin, 2000, pp. viii+208. isbn: 3-540-66337-1. url: https://doi.org/10.1007/978-3-662-12622-6.

[Wae85]

B. L. van der Waerden. A history of algebra. From al-Khwārizmı̄ to Emmy Noether. Berlin: Springer-Verlag, 1985, pp. xi+271. isbn: 3-540-13610-X.

[横田一71]

横田一郎. 群と位相. 東京: 裳華房, 1971, p. 268. isbn: 978-4785311056.

[横田一92]

横田一郎. 例外型単純リー群. 京都: 現代数学社, 1992.