八元数体は, 実数, 複素数, 四元数という実数の拡張の列の「最後」のものである。 かつては, Cayley数体と呼ばれることが多かったようであるが,
実際には Cayley より前に Graves により発見されていたようなので, Cayley数という名称は使わない方がよいように思う。この
Graves の発見について, 私は, van der Waerden の [Wae85] で初めて知った。
八元数体と直接関係があるのは, 例外型 Lie群の構成なので, 横田一郎氏の本 [横田一71; 横田一92] をはじめとして,
関連した本に解説がある。 T.A. Springer と Veldkamp の本 [SV00] や Baez による解説 [Bae02] などもある。
Conway と Smith の本 [CS03] は, 整数論や有限群に関連した話題を用いて, 実数から八元数まで順番に解説してあり,
ユニークで面白い。
八元数の構成としては, Albuquerque と Majid [AM99; AM00] による興 味深いものがある。 彼等は,
ある monoidal category で考えると, 八元数体が associative algebra (monoid object)
とみなせることを発見した。Cheng ら [Che+17] は, それに基づき, 八元数が \(\Z _2^3\)-graded なある braided tensor
category での Azumaya algebra とみなすことができる, と言っている。 また Bulacu [Bul09] は, 適当な
symmetric monoidal category での commutative cocommutative weak braided Hopf
algebra とみなすことができる, と言っている。
例外型Lie群やLie環以外にも, 色々なところに現れるようである。Djokovic と Zhao の [DZ] では, \(\Z [t]\) 上の octonion
algebra と組み合せ論との関係が書いてある。
Cawagas らの [Caw+] によると, 物理での応用については, Okubo の本 [Oku95] があるようである。
八元数の一般化としては, Bourbaki の [Bou70] の Chapter 3 の Appendix に書いてあるものがある。また
Albuquerque と Majid [AM99] による, より抽象的なアプローチもある。
- generalized octonion algebra
その generalized octonion algebra の中での Fibonacci数の類似を考えている人がいる。Savin の [Sav]
である。それによると, 普通の八元数での Fibonacci octonion や Lucas octonion は, Kecilioglu と Akkus
[KA15] により導入されたらしい。もちろん, 四元数でも 考えられている。
Benkart と Pérez-Izquierdo [BP00] は, split octonion の quantum version を導入している。
Bremner [Bre99] よる quantum version もあるが, 別の algebra のようである。
Loday は, [Lod12] で, 八元数体を (小さな) operad 上の algebra として記述する, という問題を提示している。
Dzhumadil’daev と Zusmanovich [DZ11] は, alternative algebra の構造を表す operad
を考えているが, Loday は, それは Koszul ではないのでよくない, と言っている。 とにかく, 八元数体の operad
による記述ができれば, その方向での八元数の一般化, そしてその strong homotopy version ができそうである。
Scheme 上の八元数体の分類について, Asok, Hoyois, Wendt [AHW19] が調べている。
- scheme 上の octonion algebra
References
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