Motivic Homotopy Theory

代数幾何学と代数的トポロジーで平行した議論が行なわれてきたことは, 多くの人が気がついていた。 例えば, Poincaré のホモロジーのアイデアを実現する方法として, 一方では algebraic cycle の理論が, 他方では singular homology が開発されてきた。 そして, そのハイブリッドのような理論として, Lawson homology のようなものも作られた。

当然, より直接の関係として, 代数多様体や scheme のホモトピー 論を構築することも模索されてきた。 それを実現する一つの方法として, Voevodsky の仕事がある。主要な論文や解説としては, 以下のものがある:

  • Morel と Voevodsky の [MV99] が基礎となる文献である。 その続編が [Mor12] である, と Morel は書いている。 ただ, これらをいきなり読み始めるのは無理がある。
  • まず, Voevodsky による ICM 1998 での address [Voe98] がある。それによると, Suslin との singular homology の類似の構成 [SV96] ができたので, そのアイデアがうまくいくと確信したようである。
  • Voevodsky のアイデアをまとめたものとしては Princeton から出ている本 [VSF00] があるが, それよりも Clay から出ている Voevodskyの lecture note (を Mazza と Weibelがまとめたもの) [MVW06] の方が読みやすい。
  • Weibel の [Wei04] の冒頭にある図は, smooth scheme の category から, Voevodsky の triangulated category of motives に至るまでのルートが示されていて, 全体像を把握するのに役に立つ。
  • Levine による解説 [Lev08] では, two parallel world として, 代数的トポロジーと代数幾何学の比較が行なわれている。
  • Morel による ICM 2006 での address [Mor06] でも, Brouwer degree, 基本群による被覆の分類, Hurewicz theorem, vector bundle の分類などの, 代数的トポロジーの類似について, 述べられている。
  • Panin と Pimenov と Röndigs の [PPR09] の半分以上は Appendixとなっていて, motivic homotopy theory が解説してある。
  • Asok による website もある。
  • Dundas らによる UniversiText [Dun+07] があることを, 東京都市大の中井さんに教えてもらった。
  • Beilinson と Vologodsky [BV08] は, dg category を使って解説している。
  • Borghesi の解説 [Bor] は, 名古屋工業大学での講義をまとめたものである。

Motivic homotopy theory とは motif (英語では motive) のホモトピー論という意味であり, motif とは, Grothendieck が, 彼が中心となって構成した様々な代数幾何学での cohomology theory の共通の元となるようなもののことである。 Grothendieck は, Abelian category として構成することを考えていたようであるが, 代数的トポロジーを勉強したことがある人なら, generalized cohomology theory の元となっているのが stable homotopy category という triangulated category であることから, triangulated category として構成しようと考えるのが自然と思うだろう。 更に, stable homotopy category は Abelian category の derived category にはなっていない triangulated category なので, Abelian category を経由ぜずに直接 triangulated category を定義すべきである, ということに気がつくはずである。

その方法としては, 当然代数的トポロジーでの stable homotopy category の構成を真似すべきだろう。 そしてそれに成功したのが Voevodsky だった。 Voevodsky は, そのために2つの方法を考えている。 1つは morphism を correspondence (span) にした category から triangulated category を構成する方法, もう一つは, 代数的トポロジーでの, 位相空間から spectrum を構成する方法の類似である。 位相空間の役割を果すものは, [Dun+07] では motivic space と呼ばれる。 その2つの関係は, Weibel の [Wei04] の冒頭にある図を見るとよく分かる。

Voevodsky のアイデアが「正しい」ものか, という疑問については, MathOverflow で何回か議論されている。

Voevodsky のアイデアは, 代数的トポロジーの手法を代数幾何学に導入することだったので, 当然, 代数的トポロジーで導入された概念や手法がどれだけ通用するか, を知りたい。

変種や拡張としては, まず群作用を持つ場合がある。 Hoyois [Hoy17] によると, 最初に考えたのはやはり Voevodsky らしい。ただし, Voevodsky の書いたものではなく, Deligne の [Del09] が参照されている。

  • equivariant motivic homotopy theory

その後, 様々な人により研究されている。 Deshpande [Des] が equivariant algebraic cobordism を定義し, Heller, Voineagu, Østvær [HVØ15] が Bredon型の cohomology theory を導入している。 よりホモトピー論的なアプローチとしては, Herrmann [Her] が model structure を 導入して \(G\)-equivariant motivic (stable と unstable) homotopy category を定義し調べている。 Hu と Kriz と Ormsby の [HKO11], Carlsson と Joshua の [CJ], そして Heller と Krishna と Østvær の [HKØ15] もある。

Hoyois [Hoy17] は, stable equivariant motivic homotopy theory で Grothendieck の six operations の類似を考えている。

Nisnevich topology ではなく, étale topology を用いたものも考えられている。Bachmann の [Bac21] や [BH] など。Artin と Mazur の étale homotopy theory との関係は, どうなっているのだろう?

可換環の代りに commutative ring spectrum を用いた “spectral 版” が Khan [Kha] により構築されている。Cisinski と Khan による続編 [CK]では, Morel-Voevodsky の理論と同値であることが示されている。

Holmstrom と Scholbach [HS15] は, motivic cohomology の Arakerov 版を考えている。

非可換版については, Robalo の [Roba; Robb; Rob15] などがある。 Robalo は, \((\infty ,1)\)-category の枠組みを使っている。その中で Morel-Voevodsky の motivic stable homotopy category の \((\infty ,1)\)-category version も与えている。 そして, その symmetric monoidal \((\infty ,1)\)-category としての特徴付けも 与えている。

References

[Bac21]

Tom Bachmann. “Rigidity in étale motivic stable homotopy theory”. In: Algebr. Geom. Topol. 21.1 (2021), pp. 173–209. arXiv: 1810. 08028. url: https://doi.org/10.2140/agt.2021.21.173.

[BH]

Tom Bachmann and Marc Hoyois. Remarks on étale motivic stable homotopy theory. arXiv: 2104.06002.

[Bor]

Simone Borghesi. Cohomology operations and algebraic geometry. arXiv: 0903.4360.

[BV08]

Alexander Beilinson and Vadim Vologodsky. “A DG guide to Voevodsky’s motives”. In: Geom. Funct. Anal. 17.6 (2008), pp. 1709–1787. arXiv: math/0604004. url: http://dx.doi.org/10.1007/s00039-007-0644-5.

[CJ]

Gunnar Carlsson and Roy Joshua. Equivariant motivic homotopy theory. arXiv: 1404.1597.

[CK]

Denis-Charles Cisinski and Adeel A. Khan. \(\mathbb {A}^1\)-homotopy invariance in spectral algebraic geometry. arXiv: 1705.03340.

[Del09]

Pierre Deligne. “Voevodsky’s lectures on motivic cohomology 2000/2001”. In: Algebraic topology. Vol. 4. Abel Symp. Springer, Berlin, 2009, pp. 355–409. url: https://doi.org/10.1007/978-3-642-01200-6_12.

[Des]

Dinesh Deshpande. Algebraic Cobordism of Classifying Spaces. arXiv: 0907.4437.

[Dun+07]

B. I. Dundas, M. Levine, P. A. Østvær, O. Röndigs, and V. Voevodsky. Motivic homotopy theory. Universitext. Lectures from the Summer School held in Nordfjordeid, August 2002. Springer-Verlag, Berlin, 2007, pp. x+221. isbn: 978-3-540-45895-1; 3-540-45895-6. url: http://dx.doi.org/10.1007/978-3-540-45897-5.

[Her]

Philip Herrmann. Equivariant Motivic Homotopy Theory. arXiv: 1312.0241.

[HKO11]

P. Hu, I. Kriz, and K. Ormsby. “The homotopy limit problem for Hermitian K-theory, equivariant motivic homotopy theory and motivic Real cobordism”. In: Adv. Math. 228.1 (2011), pp. 434–480. url: http://dx.doi.org/10.1016/j.aim.2011.05.019.

[HKØ15]

Jeremiah Heller, Amalendu Krishna, and Paul Arne Østvær. “Motivic homotopy theory of group scheme actions”. In: J. Topol. 8.4 (2015), pp. 1202–1236. arXiv: 1408 . 2348. url: https://doi.org/10.1112/jtopol/jtv030.

[Hoy17]

Marc Hoyois. “The six operations in equivariant motivic homotopy theory”. In: Adv. Math. 305 (2017), pp. 197–279. arXiv: 1509. 02145. url: https://doi.org/10.1016/j.aim.2016.09.031.

[HS15]

Andreas Holmstrom and Jakob Scholbach. “Arakelov motivic cohomology I”. In: J. Algebraic Geom. 24.4 (2015), pp. 719–754. arXiv: 1012.2523. url: https://doi.org/10.1090/jag/648.

[HVØ15]

J. Heller, M. Voineagu, and P. A. Østvær. “Equivariant cycles and cancellation for motivic cohomology”. In: Doc. Math. 20 (2015), pp. 269–332. arXiv: 1304.5867.

[Kha]

Adeel A. Khan. The Morel-Voevodsky localization theorem in spectral algebraic geometry. arXiv: 1610.06871.

[Lev08]

Marc Levine. “Motivic homotopy theory”. In: Milan J. Math. 76 (2008), pp. 165–199. url: http://dx.doi.org/10.1007/s00032-008-0088-x.

[Mor06]

Fabien Morel. “\(\mathbb {A}^1\)-algebraic topology”. In: International Congress of Mathematicians. Vol. II. Eur. Math. Soc., Zürich, 2006, pp. 1035–1059.

[Mor12]

Fabien Morel. \(\mathbb {A}^{1}\)-algebraic topology over a field. Vol. 2052. Lecture Notes in Mathematics. Heidelberg: Springer, 2012, pp. x+259. isbn: 978-3-642-29513-3. url: http://dx.doi.org/10.1007/978-3-642-29514-0.

[MV99]

Fabien Morel and Vladimir Voevodsky. “\(\mathbf {A}^1\)-homotopy theory of schemes”. In: Inst. Hautes Études Sci. Publ. Math. 90 (1999), 45–143 (2001). url: http://www.numdam.org/item?id=PMIHES_1999__90__45_0.

[MVW06]

Carlo Mazza, Vladimir Voevodsky, and Charles Weibel. Lecture notes on motivic cohomology. Vol. 2. Clay Mathematics Monographs. Providence, RI: American Mathematical Society, 2006, pp. xiv+216. isbn: 978-0-8218-3847-1; 0-8218-3847-4.

[PPR09]

Ivan Panin, Konstantin Pimenov, and Oliver Röndigs. “On Voevodsky’s algebraic \(K\)-theory spectrum”. In: Algebraic topology. Vol. 4. Abel Symp. Berlin: Springer, 2009, pp. 279–330. arXiv: 0709.3905. url: http://dx.doi.org/10.1007/978-3-642-01200-6_10.

[Roba]

Marco Robalo. Noncommutative Motives I: A Universal Characterization of the Motivic Stable Homotopy Theory of Schemes. arXiv: 1206.3645.

[Robb]

Marco Robalo. Noncommutative Motives II: \(K\)-Theory and Noncommutative Motives. arXiv: 1306.3795.

[Rob15]

Marco Robalo. “\(K\)-theory and the bridge from motives to noncommutative motives”. In: Adv. Math. 269 (2015), pp. 399–550. url: http://dx.doi.org/10.1016/j.aim.2014.10.011.

[SV96]

Andrei Suslin and Vladimir Voevodsky. “Singular homology of abstract algebraic varieties”. In: Invent. Math. 123.1 (1996), pp. 61–94. url: http://dx.doi.org/10.1007/BF01232367.

[Voe98]

Vladimir Voevodsky. “\(\mathbf {A}^{1}\)-homotopy theory”. In: Proceedings of the International Congress of Mathematicians, Vol. I (Berlin, 1998). Extra Vol. I. 1998, 579–604 (electronic).

[VSF00]

Vladimir Voevodsky, Andrei Suslin, and Eric M. Friedlander. Cycles, transfers, and motivic homology theories. Vol. 143. Annals of Mathematics Studies. Princeton, NJ: Princeton University Press, 2000, pp. vi+254. isbn: 0-691-04814-2; 0-691-04815-0.

[Wei04]

Charles Weibel. “A road map of motivic homotopy and homology theory”. In: Axiomatic, enriched and motivic homotopy theory. Vol. 131. NATO Sci. Ser. II Math. Phys. Chem. Kluwer Acad. Publ., Dordrecht, 2004, pp. 385–392. url: https://doi.org/10.1007/978-94-007-0948-5_10.