Moonshine

Monster の性質のうち, もっとも驚くべきことは moonshine と呼ばれる modular form との関係だろう。Conway と Norton [CN79]により発見された。元々の切っ掛けは, McKay の発見らしいが。解説は色々ある。以下に目についたものを挙げる。

• Frenkel と Lepowsky と Meurman の本 [FLM88] の最初
• Borcherds の [Bor98]
• Gannon の [Gan02; Gan06]
• Morava の [Mor09]
• Duncan と Griffin と Ono による [DGO15]

Web 上では, Le Bruyn が blog で関連した話題について書いてくれている。 このpostにあるように, それを PDF にまとめたものが download できるようになった。Blog post をそのまま PDF にしてあるので link が豊富で, 結構便利である。

Conway と Norton は, monster の graded representation で, その graded character が genus \(0\) modular function になっているものが存在することを予想したが, Frenkel と Lepowsky と Meurman の構成した vertex operator algebra [FLM88] がその表現であることを証明したのは, Borcherds [Bor92] である。

当然, moonshine 予想の一般化も考えられている。 [Fon87] に収録されている Norton の “generalized moonshine” や Carnahan の [Car10; Car12] など。

Modular form と言えば 楕円コホモロジーであるが, 楕円コホモロジーとの関連については Ganter の [Gan09] がある。

Mathieu 群に対する moonshineは, Eguchi, Ooguri, Tachikawa [EOT11] により発見されたらしい。

• Mathieu moonshine

Creutzig と Höhn の [CH14] によると, その後 McKay-Thompson seriesが [Che10; CD14; EH11; GHV10b; GHV10a] などによって提案されている。

Gaberdiel, Persson, Ronellenfitsch, Volpato [Gab+13] は, Mathieu moonshine の Norton 流の generalized moonshine への拡張を考えている。

Mathieu moonshine を含むものとして, Cheng と Duncan と Harvey [CDH14] の umbral moonshine がある。 Quanta Magazine に記事があるので, まずはそれを読むのが良いと思う。

• umbral moonshine

MathOverflow の質問がきっかけで発見されたものもある。

• Thompson moonshine

その MathOverflow での回答は, Rayhaun により書かれているが, 彼は Harvey と共に [HR16] で Thompson moonshine を調べている。

References

[Bor92]

Richard E. Borcherds. “Monstrous moonshine and monstrous Lie superalgebras”. In: Invent. Math. 109.2 (1992), pp. 405–444. url: http://dx.doi.org/10.1007/BF01232032.

[Bor98]

Richard E. Borcherds. “What is Moonshine?” In: Proceedings of the International Congress of Mathematicians, Vol. I (Berlin, 1998). Extra Vol. I. 1998, 607–615 (electronic). arXiv: math/9809110.

[Car10]

Scott Carnahan. “Generalized moonshine I: genus-zero functions”. In: Algebra Number Theory 4.6 (2010), pp. 649–679. arXiv: 0812.3440. url: https://doi.org/10.2140/ant.2010.4.649.

[Car12]

Scott Carnahan. “Generalized moonshine, II: Borcherds products”. In: Duke Math. J. 161.5 (2012), pp. 893–950. arXiv: 0908.4223. url: https://doi.org/10.1215/00127094-1548416.

[CD14]

Miranda C. N. Cheng and John F. R. Duncan. “Rademacher sums and Rademacher series”. In: Conformal field theory, automorphic forms and related topics. Vol. 8. Contrib. Math. Comput. Sci. Springer, Heidelberg, 2014, pp. 143–182. arXiv: 1110.3859.

[CDH14]

Miranda C. N. Cheng, John F. R. Duncan, and Jeffrey A. Harvey. “Umbral moonshine”. In: Commun. Number Theory Phys. 8.2 (2014), pp. 101–242. arXiv: 1204.2779. url: https://doi.org/10.4310/CNTP.2014.v8.n2.a1.

[CH14]

Thomas Creutzig and Gerald Höhn. “Mathieu moonshine and the geometry of K3 surfaces”. In: Commun. Number Theory Phys. 8.2 (2014), pp. 295–328. arXiv: 1309.2671. url: https://doi.org/10.4310/CNTP.2014.v8.n2.a3.

[Che10]

Miranda C. N. Cheng. “\(K3\) surfaces, \(\cN =4\) dyons and the Mathieu group \(M_{24}\)”. In: Commun. Number Theory Phys. 4.4 (2010), pp. 623–657. arXiv: 1005.5415. url: https://doi.org/10.4310/CNTP.2010.v4.n4.a2.

[CN79]

J. H. Conway and S. P. Norton. “Monstrous moonshine”. In: Bull. London Math. Soc. 11.3 (1979), pp. 308–339. url: http://dx.doi.org/10.1112/blms/11.3.308.

[DGO15]

John F. R. Duncan, Michael J. Griffin, and Ken Ono. “Moonshine”. In: Res. Math. Sci. 2 (2015), Art. 11, 57. arXiv: 1411.6571. url: https://doi.org/10.1186/s40687-015-0029-6.

[EH11]

Tohru Eguchi and Kazuhiro Hikami. “Note on twisted elliptic genus of \(K3\) surface”. In: Phys. Lett. B 694.4-5 (2011), pp. 446–455. arXiv: 1008.4924. url: https://doi.org/10.1016/j.physletb.2010.10.017.

[EOT11]

Tohru Eguchi, Hirosi Ooguri, and Yuji Tachikawa. “Notes on the \(K3\) surface and the Mathieu group \(M_{24}\)”. In: Exp. Math. 20.1 (2011), pp. 91–96. arXiv: 1004.0956. url: http://dx.doi.org/10.1080/10586458.2011.544585.

[FLM88]

Igor Frenkel, James Lepowsky, and Arne Meurman. Vertex operator algebras and the Monster. Vol. 134. Pure and Applied Mathematics. Boston, MA: Academic Press Inc., 1988, pp. liv+508. isbn: 0-12-267065-5.

[Fon87]

Paul Fong, ed. The Arcata Conference on Representations of Finite Groups. Vol. 47. Proceedings of Symposia in Pure Mathematics. Providence, RI: American Mathematical Society, 1987, pp. xii+487. isbn: 0-8218-1477-X.

[Gab+13]

Matthias R. Gaberdiel, Daniel Persson, Henrik Ronellenfitsch, and Roberto Volpato. “Generalized Mathieu Moonshine”. In: Commun. Number Theory Phys. 7.1 (2013), pp. 145–223. arXiv: 1211.7074. url: https://doi.org/10.4310/CNTP.2013.v7.n1.a5.

[Gan02]

Terry Gannon. “Postcards from the edge, or snapshots of the theory of generalised moonshine”. In: Canad. Math. Bull. 45.4 (2002). Dedicated to Robert V. Moody, pp. 606–622. arXiv: math/0109067. url: http://dx.doi.org/10.4153/CMB-2002-056-6.

[Gan06]

Terry Gannon. “Monstrous moonshine: the first twenty-five years”. In: Bull. London Math. Soc. 38.1 (2006), pp. 1–33. arXiv: math/0402345. url: http://dx.doi.org/10.1112/S0024609305018217.

[Gan09]

Nora Ganter. “Hecke operators in equivariant elliptic cohomology and generalized Moonshine”. In: Groups and symmetries. Vol. 47. CRM Proc. Lecture Notes. Providence, RI: Amer. Math. Soc., 2009, pp. 173–209. arXiv: 0706.2898.

[GHV10a]

Matthias R. Gaberdiel, Stefan Hohenegger, and Roberto Volpato. “Mathieu Moonshine in the elliptic genus of \(K3\)”. In: J. High Energy Phys. 10 (2010), pp. 062, 24. arXiv: 1008.3778. url: https://doi.org/10.1007/JHEP10(2010)062.

[GHV10b]

Matthias R. Gaberdiel, Stefan Hohenegger, and Roberto Volpato. “Mathieu twining characters for \(K3\)”. In: J. High Energy Phys. 9 (2010), pp. 058, 20. arXiv: 1006.0221. url: https://doi.org/10.1007/JHEP09(2010)058.

[HR16]

Jeffrey A. Harvey and Brandon C. Rayhaun. “Traces of singular moduli and moonshine for the Thompson group”. In: Commun. Number Theory Phys. 10.1 (2016), pp. 23–62. arXiv: 1504.08179. url: https://doi.org/10.4310/CNTP.2016.v10.n1.a2.

[Mor09]

Jack Morava. “Moonshine elements in elliptic cohomology”. In: Groups and symmetries. Vol. 47. CRM Proc. Lecture Notes. Providence, RI: Amer. Math. Soc., 2009, pp. 247–257. arXiv: 0712.1032.