Monster と Moonshine

Vertex operator algebra のことを話すときに Monster に触れないわけにないかない。Monster とは sporadic な有限単純群の中で最も位数の大きな群のことである。

Monster については Borcherds のAMSのNoticesの解説 [Bor] が短かくて分かり易い。それによると次の四つの“定義”がある。

• 最大の sporadic simple group
• Griess algebra の自己同型群
• Monster vertex operator algebra の自己同型群
• Monster Lie algebra の diagram automorphism group

Monster の性質のうち, もっとも驚くべきことは moonshine と呼ばれる modular form との関係だろう。Conway と Norton [CN79]により発見された。元々の切っ掛けは, McKay の発見らしいが。解説は色々ある。以下に目についたものを挙げる。

• FrenkelとLepowskyとMeurmanの本 [FLM88] の最初
• Borcherdsの [Bor98]
• Gannonの [Gan02; Gan06]
• Morava の [Mor09]
• Duncanと Griffinと Ono による [DGO]

Web上では, Le Bruynが blog で関連した話題について書 いてくれている。 このpostにあるように, それをPDFにまとめたのがdownloadできるようになっ た。Blog postをそのままPDFにしてあるのでlinkが豊富で, 結構便利である。

ConwayとNortonは, monsterのgraded representationで, そのgraded characterがgenus \(0\) modular functionになっているものが存在することを予 想したが, FrenkelとLepowskyとMeurmanの構成した vertex operator algebra [FLM88] がその表現であることを証明したのは, Borcherds [Bor92]である。

当然, moonshine予想の一般化も考えられている。 [Fon87] に収録されている Norton の “generalized moonshine” や Carnahanの [Cara; Carb] など。

Modular form と言えば 楕円コホモロジー であるが, 楕円コホモロジーとの関連については Ganter の [Gan09] がある。

Mathieu群に対するmoonshineは, Eguchi, Ooguri, Tachikawa [EOT11] により発見されたらしい。

• Mathieu moonshine

Creutzig と Höhn の [CH] によると, その後 McKay-Thompson seriesが [Che10; CD; EH; GHVb; GHVa] などによって提案されている。

Gaberdiel, Persson, Ronellenfitsch, Volpato [Gab+] はMathieu moonshineの Norton流の generalized moonshine への拡張を考えている。

Mathieu moonshine を含むものとして, ChengとDuncanとHarvey [CDH] の umbral moonshine がある。 Quanta Magazine に記事があるので, まずはそれを読むのが良いと思う。

• umbral moonshine

MathOverflow の質問がきっ かけで発見されたものもある。

• Thompson moonshine

その MathOverflowの回答は, Rayhaunにより書かれているが, 彼は Harveyと共 に [HR]で Thompson moonshineを調べている。

References

[Bor]

R. E. Borcherds. What is the monster? arXiv: math/0209328.

[Bor92]

Richard E. Borcherds. “Monstrous moonshine and monstrous Lie superalgebras”. In: Invent. Math. 109.2 (1992), pp. 405–444. url: http://dx.doi.org/10.1007/BF01232032.

[Bor98]

Richard E. Borcherds. “What is Moonshine?” In: Proceedings of the International Congress of Mathematicians, Vol. I (Berlin, 1998). Extra Vol. I. 1998, 607–615 (electronic). arXiv: math/9809110.

[Cara]

Scott Carnahan. Generalized Moonshine I: Genus zero functions. arXiv: 0812.3440.

[Carb]

Scott Carnahan. Generalized moonshine II: Borcherds products. arXiv: 0908.4223.

[CD]

Miranda C. N. Cheng and John F. R. Duncan. On Rademacher Sums, the Largest Mathieu Group, and the Holographic Modularity of Moonshine. arXiv: 1110.3859.

[CDH]

Miranda C. N. Cheng, John F. R. Duncan, and Jeffrey A. Harvey. Umbral Moonshine. arXiv: 1204.2779.

[CH]

Thomas Creutzig and Gerald Hoehn. Mathieu Moonshine and the Geometry of K3 Surfaces. arXiv: 1309.2671.

[Che10]

Miranda C. N. Cheng. “\(K3\) surfaces, \(\cN =4\) dyons and the Mathieu group \(M_{24}\)”. In: Commun. Number Theory Phys. 4.4 (2010), pp. 623–657. arXiv: 1005.5415. url: https://doi.org/10.4310/CNTP.2010.v4.n4.a2.

[CN79]

J. H. Conway and S. P. Norton. “Monstrous moonshine”. In: Bull. London Math. Soc. 11.3 (1979), pp. 308–339. url: http://dx.doi.org/10.1112/blms/11.3.308.

[DGO]

John F. R. Duncan, Michael J. Griffin, and Ken Ono. Moonshine. arXiv: 1411.6571.

[EH]

Tohru Eguchi and Kazuhiro Hikami. Note on Twisted Elliptic Genus of K3 Surface. arXiv: 1008.4924.

[EOT11]

Tohru Eguchi, Hirosi Ooguri, and Yuji Tachikawa. “Notes on the \(K3\) surface and the Mathieu group \(M_{24}\)”. In: Exp. Math. 20.1 (2011), pp. 91–96. arXiv: 1004.0956. url: http://dx.doi.org/10.1080/10586458.2011.544585.

[FLM88]

Igor Frenkel, James Lepowsky, and Arne Meurman. Vertex operator algebras and the Monster. Vol. 134. Pure and Applied Mathematics. Boston, MA: Academic Press Inc., 1988, pp. liv+508. isbn: 0-12-267065-5.

[Fon87]

Paul Fong, ed. The Arcata Conference on Representations of Finite Groups. Vol. 47. Proceedings of Symposia in Pure Mathematics. Providence, RI: American Mathematical Society, 1987, pp. xii+487. isbn: 0-8218-1477-X.

[Gab+]

Matthias R. Gaberdiel, Daniel Persson, Henrik Ronellenfitsch, and Roberto Volpato. Generalised Mathieu Moonshine. arXiv: 1211.7074.

[Gan02]

Terry Gannon. “Postcards from the edge, or snapshots of the theory of generalised moonshine”. In: Canad. Math. Bull. 45.4 (2002). Dedicated to Robert V. Moody, pp. 606–622. arXiv: math/0109067. url: http://dx.doi.org/10.4153/CMB-2002-056-6.

[Gan06]

Terry Gannon. “Monstrous moonshine: the first twenty-five years”. In: Bull. London Math. Soc. 38.1 (2006), pp. 1–33. arXiv: math/0402345. url: http://dx.doi.org/10.1112/S0024609305018217.

[Gan09]

Nora Ganter. “Hecke operators in equivariant elliptic cohomology and generalized Moonshine”. In: Groups and symmetries. Vol. 47. CRM Proc. Lecture Notes. Providence, RI: Amer. Math. Soc., 2009, pp. 173–209. arXiv: 0706.2898.

[GHVa]

Matthias R. Gaberdiel, Stefan Hohenegger, and Roberto Volpato. Mathieu Moonshine in the elliptic genus of \(K3\). arXiv: 1008.3778.

[GHVb]

Matthias R. Gaberdiel, Stefan Hohenegger, and Roberto Volpato. Mathieu twining characters for \(K3\). arXiv: 1006.0221.

[HR]

Jeffrey A. Harvey and Brandon C. Rayhaun. Traces of Singular Moduli and Moonshine for the Thompson Group. arXiv: 1504.08179.

[Mor09]

Jack Morava. “Moonshine elements in elliptic cohomology”. In: Groups and symmetries. Vol. 47. CRM Proc. Lecture Notes. Providence, RI: Amer. Math. Soc., 2009, pp. 247–257. arXiv: 0712.1032.