Vertex operator algebra のことを話すときに Monster に触れないわけにないかない。Monster とは sporadic
な有限単純群の中で最も位数の大きな群のことである。
Monster については Borcherds のAMSのNoticesの解説 [Bor] が短かくて分かり易い。それによると次の四つの“定義”がある。
- 最大の sporadic simple group
- Griess algebra の自己同型群
- Monster vertex operator algebra の自己同型群
- Monster Lie algebra の diagram automorphism group
Monster の性質のうち, もっとも驚くべきことは moonshine と呼ばれる modular form との関係だろう。Conway
と Norton [CN79]により発見された。元々の切っ掛けは, McKay の発見らしいが。解説は色々ある。以下に目についたものを挙げる。
Web上では, Le Bruynが blog で関連した話題について書 いてくれている。 このpostにあるように,
それをPDFにまとめたのがdownloadできるようになっ た。Blog postをそのままPDFにしてあるのでlinkが豊富で,
結構便利である。
ConwayとNortonは, monsterのgraded representationで, そのgraded characterがgenus \(0\)
modular functionになっているものが存在することを予 想したが, FrenkelとLepowskyとMeurmanの構成した
vertex operator algebra [FLM88] がその表現であることを証明したのは, Borcherds [Bor92]である。
当然, moonshine予想の一般化も考えられている。 [Fon87] に収録されている Norton の “generalized
moonshine” や Carnahanの [Cara; Carb] など。
Modular form と言えば 楕円コホモロジー であるが, 楕円コホモロジーとの関連については Ganter の [Gan09]
がある。
Mathieu群に対するmoonshineは, Eguchi, Ooguri, Tachikawa [EOT11] により発見されたらしい。
Creutzig と Höhn の [CH] によると, その後 McKay-Thompson seriesが [Che10; CD; EH;
GHVb; GHVa] などによって提案されている。
Gaberdiel, Persson, Ronellenfitsch, Volpato [Gab+] はMathieu moonshineの
Norton流の generalized moonshine への拡張を考えている。
Mathieu moonshine を含むものとして, ChengとDuncanとHarvey [CDH] の umbral
moonshine がある。 Quanta Magazine に記事があるので, まずはそれを読むのが良いと思う。
MathOverflow の質問がきっ かけで発見されたものもある。
その MathOverflowの回答は, Rayhaunにより書かれているが, 彼は Harveyと共 に [HR]で Thompson
moonshineを調べている。
References
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[Bor]
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R. E. Borcherds. What is the monster? arXiv: math/0209328.
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[Bor92]
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superalgebras”. In: Invent. Math. 109.2 (1992), pp. 405–444. url:
http://dx.doi.org/10.1007/BF01232032.
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[Bor98]
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Richard E. Borcherds. “What is Moonshine?” In: Proceedings of the
International Congress of Mathematicians, Vol. I (Berlin, 1998).
Extra Vol. I. 1998, 607–615 (electronic). arXiv: math/9809110.
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[Cara]
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arXiv: 0812.3440.
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[Carb]
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Scott Carnahan. Generalized moonshine II: Borcherds products.
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[CD]
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of Moonshine. arXiv: 1110.3859.
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[CDH]
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Miranda C. N. Cheng, John F. R. Duncan, and Jeffrey A. Harvey.
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[DGO]
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[EH]
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Tohru Eguchi, Hirosi Ooguri, and Yuji Tachikawa. “Notes on the \(K3\)
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[FLM88]
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Igor Frenkel, James Lepowsky, and Arne Meurman. Vertex operator
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[Fon87]
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[Gan09]
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[HR]
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Jeffrey A. Harvey and Brandon C. Rayhaun. Traces of Singular
Moduli and Moonshine for the Thompson Group. arXiv: 1504.08179.
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[Mor09]
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Jack Morava. “Moonshine elements in elliptic cohomology”. In:
Groups and symmetries. Vol. 47. CRM Proc. Lecture Notes.
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