Model Categories of Presheaves and Sheaves

Grothendieck site 上の 層や前層の成す圏のモデル構造は, まず Morel と Voevodsky [MV99] の motivic homotopy theory の基礎として重要である。 そこで用いられているのは, simplicial (pre)sheaf, つまり simplicial set の圏に値を持つものであるが。

  • site 上の simplicial (pre)sheaf の圏のモデル構造 (Jardine の[Jar87; Jar96])

この Jardine の site 上の simplicial (pre)sheaf のモデル構造は, simplicial set の category の model structureGrothendieck topology の情報を組み合せて得られていると考えることができる。

もちろん, 前層は単なる contravariant functorのことだから, model category に値持つ small category からの functor の成す圏に一般的に定義される model structure もある。

  • projective model structure
  • injective model structure

その際には, Grothendieck topology は使わない。 Jardine の simplicial presheaf の圏のモデル構造では, Grothendieck topology の情報が weak equivalence として取り入れられている。 結果的に, simplicial presheaf の categry と simplicial sheaf の category が homotopy categry まで落すと同値になってしまう。 つまり, model category を用いると sheaf が不要になってしまうということで, 面白い model category の応用だと思う。

このプロセスを一般化したのが, Beke の [Bek00] である。

Voevodsky の motivic homotopy theory に関する lecture note [VRØ07] の冒頭で, motivic homotopy theory のための model structure の選択肢として, 次を挙げている:

Dugger, Hollander, Isaksen のものと同じ model structure は, 独立に Hinich [Hin05] によっても発見されている。

他にも次のようなものがある。

  • Grothendieck topos 上の環の層の上の module の presheaf の chain complex の圏の上の tensor model structure [Fau]
  • quasi-compact や semi-separated scheme 上の quasi-coherent sheaf の chain complex の圏 [Gil]
  • \(\Gamma \)-space の presheaf の圏 [Ber09]
  • smooth affine algebraic variety \(X\) 上の sheaf of differential operators \(\mathcal {D}_{X}\) 上の differential non-negatively graded quasicoherent commutative algebra の圏 [BPP]
  • small simplicial category から simplicial set の category への simplicial functor の圏の model structure [Mos19]

References

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