Compact Quantum Groups, Locally Compact Quatum Groups, and Related Topics

\(C^{*}\)-algebra などの operator algebra の道具を用いた compact 群や locally compact 群の quantum 版の歴史については, Kustermans と Vaes の [KV00] の Introduction や Kustermans らの lecture notes [Kus+] の Introduction を読むのが良いと思う。

Gel\('\)fand-Naimark duality で, compact Hausdorff space と対応するのは単位元を持つ \(C^{*}\)-algebra なので, compact quantum group の定義はそれ程難しくはない。

• compact quantum group

現在 compact quantum group と呼ばれているものは, Woronowicz [Wor98] が導入したものである。 Compact quantum group の部分群と quantum quotient space は Podles により [Pod95] で定義された。Wang は [Wan09] で simple compact quantum group の定義を提案している。

Wang [Wan95; Wan98] は, 直交群やユニタリ群が代数群であることに着目し, その関数環の非可換版 \(O_{N}^+\), \(U_{N}^+\) を導入した。このようなものを \(O_{N}\) や \(U_{N}\) の free 版と呼ぶようである。 直交群には対称群が含まれるが, 対称群の free 版もある。それについては, Banica の survey [Banb] がある。

• quantum permutation group

また, 対称群の直交群の free 版の中間にあるような compact quantum group を Banica と Speicher [BS09] は easy compact group と呼んで調べている。 このような “free quantum group” や liberation については Banica の [Bana] がある。

• free quantum group
• easy quantum group

Compact quantum group に関する様々な構成を category theory の視点から考えているのは, Chirvasitu の [Chi15] である。例えば, compact quantum group の圏が finitely presentable であることなどを示している。

Semigroup 版の compact quantum semigroup の概念も, [MV98; Auk14] などで定義されている。

Compact quantum group の dual に対応するものとして discrete quantum group がある。Franz らによる compact quantum group と合せた Introduction [FSS17] がある。

• discrete quantum group

Locally compact 群に対応するものを \(C^{*}\)-algebra で定義しようとするとき, 問題は単位元が無いことである。 つまり comultiplication の coassociativity をどのように記述するか, である。 Locally compact quantum group は, Kustermans と Vaes の一連の論文 [KV99; KV00; KV03] でその理論が構築されたが, その際使われているのは, multiplier algebra である。

• multiplier algebra

彼等は, [KV00] では \(C^{*}\)-algebra を用いていたが, [KV03] では von Neumann algebra を用いることにより, \(C^{*}\)-algebra の場合の density condition を省くことができることを発見している。

Locally compact quantum group については, Kustermans らの lecture notes [Kus+] が self-contained に書かれているので, まずこれを読むのが良いと思う。

拡張としては, Voigt [Voi08] による bornological quantum gorup がある。

• bornological quantum group

References

[Auk14]

Marat Aukhadiev. “Pentagon equation and compact quantum semigroups”. In: The varied landscape of operator theory. Vol. 17. Theta Ser. Adv. Math. Theta, Bucharest, 2014, pp. 47–55. arXiv: 1112.2909.

[Bana]

Teo Banica. Introduction to quantum groups. arXiv: 1909.08152.

[Banb]

Teo Banica. Quantum permutation groups. arXiv: 2012.10975.

[BS09]

Teodor Banica and Roland Speicher. “Liberation of orthogonal Lie groups”. In: Adv. Math. 222.4 (2009), pp. 1461–1501. arXiv: 0808. 2628. url: http://dx.doi.org/10.1016/j.aim.2009.06.009.

[Chi15]

Alexandru Chirvasitu. “Categorical aspects of compact quantum groups”. In: Appl. Categ. Structures 23.3 (2015), pp. 381–413. arXiv: 1208.5193. url: https://doi.org/10.1007/s10485-013-9333-8.

[FSS17]

Uwe Franz, Adam Skalski, and Piotr M. Sołtan. “Introduction to compact and discrete quantum groups”. In: Topological quantum groups. Vol. 111. Banach Center Publ. Polish Acad. Sci. Inst. Math., Warsaw, 2017, pp. 9–31. arXiv: 1703.10766.

[Kus+]

Johan Kustermans, Stefaan Vaes, Leonid Vainerman, Alfons Van Daele, and Stanislaw Woronowicz. Locally compact quantum groups. url: https://perswww.kuleuven.be/~u0018768/artikels/lecture-notes.pdf.

[KV00]

Johan Kustermans and Stefaan Vaes. “Locally compact quantum groups”. In: Ann. Sci. École Norm. Sup. (4) 33.6 (2000), pp. 837–934. url: http://dx.doi.org/10.1016/S0012-9593(00)01055-7.

[KV03]

Johan Kustermans and Stefaan Vaes. “Locally compact quantum groups in the von Neumann algebraic setting”. In: Math. Scand. 92.1 (2003), pp. 68–92. arXiv: math / 0005219. url: https://doi.org/10.7146/math.scand.a-14394.

[KV99]

Johan Kustermans and Stefaan Vaes. “A simple definition for locally compact quantum groups”. In: C. R. Acad. Sci. Paris Sér. I Math. 328.10 (1999), pp. 871–876. url: http://dx.doi.org/10.1016/S0764-4442(99)80288-2.

[MV98]

Ann Maes and Alfons Van Daele. “Notes on compact quantum groups”. In: Nieuw Arch. Wisk. (4) 16.1-2 (1998), pp. 73–112. arXiv: math/9803122.

[Pod95]

Piotr Podleś. “Symmetries of quantum spaces. Subgroups and quotient spaces of quantum \(\SU (2)\) and \(\SO (3)\) groups”. In: Comm. Math. Phys. 170.1 (1995), pp. 1–20. url: http://projecteuclid.org/euclid.cmp/1104272946.

[Voi08]

Christian Voigt. “Bornological quantum groups”. In: Pacific J. Math. 235.1 (2008), pp. 93–135. arXiv: math / 0511195. url: http://dx.doi.org/10.2140/pjm.2008.235.93.

[Wan09]

Shuzhou Wang. “Simple compact quantum groups. I”. In: J. Funct. Anal. 256.10 (2009), pp. 3313–3341. arXiv: 0810 . 5734. url: http://dx.doi.org/10.1016/j.jfa.2008.10.020.

[Wan95]

Shuzhou Wang. “Free products of compact quantum groups”. In: Comm. Math. Phys. 167.3 (1995), pp. 671–692. url: http://projecteuclid.org/euclid.cmp/1104272163.

[Wan98]

Shuzhou Wang. “Quantum symmetry groups of finite spaces”. In: Comm. Math. Phys. 195.1 (1998), pp. 195–211. arXiv: math / 9807091. url: http://dx.doi.org/10.1007/s002200050385.

[Wor98]

S. L. Woronowicz. “Compact quantum groups”. In: Symétries quantiques (Les Houches, 1995). Amsterdam: North-Holland, 1998, pp. 845–884.