Finite Tensor Categories

Tensor category という言葉は, monoidal structure を持つ linear category という意味で使われることも多いし, 単なる monoidal category という意味で使う人もいる。

最近では, Calaque と Etingof の [CE08] などのように, まず Abelian category であり, monoidal category として rigid であり, unit object \(1\) が simple であるもののことを tensor category と呼ぶことが多いように思う。 当然 \(\otimes \) が biadditive であることも要求するが。 \(1\) が completely reducible であるだけでよいものを multi-tensor category という。

• tensor category
• multi-tensor category

そして, この意味の tensor category で, Abelian category として finite であるものを finite tensor category と呼ぶ。 Abelian category が finite であることの定義は, 例えば Etingof と Ostrik の [EO04] に書かれている。

• finite Abelian category

Finite tensor category の例としては, 次のものが有名である。

• 有限次元 Hopf algebra の有限次元表現の category
• ある種の vertex algebra の表現の category

当然, 有限次元 Hopf algebra に関することを finite tensor category に一般化することは, 様々な人が考えている。例えば integral については, Shimizu の [Shi17a; Shi19] で導入されている。Character や center についても Shimizu により [Shi17b; Shi23a; Shi23b] による調べられている。

Eilenberg-Watts theorem や Morita context の一般化については, Schweigert らの [FSS20; FSS21; GJS22; Fuc+] で調べられている。

References

[CE08]

Damien Calaque and Pavel Etingof. “Lectures on tensor categories”. In: Quantum groups. Vol. 12. IRMA Lect. Math. Theor. Phys. Eur. Math. Soc., Zürich, 2008, pp. 1–38. arXiv: math/0401246. url: http://dx.doi.org/10.4171/047-1/1.

[EO04]

Pavel Etingof and Viktor Ostrik. “Finite tensor categories”. In: Mosc. Math. J. 4.3 (2004), pp. 627–654, 782–783. arXiv: math/0301027.

[FSS20]

Jürgen Fuchs, Gregor Schaumann, and Christoph Schweigert. “Eilenberg-Watts calculus for finite categories and a bimodule Radford \(S^4\) theorem”. In: Trans. Amer. Math. Soc. 373.1 (2020), pp. 1–40. arXiv: 1612.04561. url: https://doi.org/10.1090/tran/7838.

[FSS21]

Jürgen Fuchs, Gregor Schaumann, and Christoph Schweigert. “Module Eilenberg-Watts calculus”. In: Hopf algebras, tensor categories and related topics. Vol. 771. Contemp. Math. Amer. Math. Soc., [Providence], RI, [2021] ©2021, pp. 117–136. arXiv: 2003.12514. url: https://doi.org/10.1090/conm/771/15509.

[Fuc+]

Jürgen Fuchs, César Galindo, David Jaklitsch, and Christoph Schweigert. Spherical Morita contexts and relative Serre functors. arXiv: 2207.07031.

[GJS22]

César Galindo, David Jaklitsch, and Christoph Schweigert. “Equivariant Morita theory for graded tensor categories”. In: Bull. Belg. Math. Soc. Simon Stevin 29.2 (2022), pp. 145–171. arXiv: 2106.07440. url: https://doi.org/10.36045/j.bbms.210720.

[Shi17a]

Kenichi Shimizu. “On unimodular finite tensor categories”. In: Int. Math. Res. Not. IMRN 1 (2017), pp. 277–322. arXiv: 1402.3482.

[Shi17b]

Kenichi Shimizu. “The monoidal center and the character algebra”. In: J. Pure Appl. Algebra 221.9 (2017), pp. 2338–2371. arXiv: 1504.01178. url: https://doi.org/10.1016/j.jpaa.2016.12.037.

[Shi19]

Kenichi Shimizu. “Integrals for Finite Tensor Categories”. In: Algebr. Represent. Theory 22.2 (2019), pp. 459–493. arXiv: 1702.02425. url: https://doi.org/10.1007/s10468-018-9777-5.

[Shi23a]

Kenichi Shimizu. “Pivotal structures of the Drinfeld center of a finite tensor category”. In: J. Pure Appl. Algebra 227.7 (2023), Paper No. 107321, 30. arXiv: 1608.05905. url: https://doi.org/10.1016/j.jpaa.2023.107321.

[Shi23b]

Kenichi Shimizu. “Ribbon structures of the Drinfeld center of a finite tensor category”. In: Kodai Math. J. 46.1 (2023), pp. 75–114. arXiv: 1707.09691. url: https://doi.org/10.2996/kmj46106.