Effective Homology Method

Sergeraert は [Ser87a; Ser87b] で effective homology を持つ simplicial set という概念を導入した。 定義などは, Rubio と Sergeraert の [RS02] を見るとよい。

• effective chain complex
• locally effective chain complex
• object with effective homology

Effective chain complex とは, 各次数が有限生成自由Abel群であり, その基底と微分を計算する algorithm (machine) が与えられているものである。 そして canonical に定義された chain complex と effective chain complex の間の “equivalence” があるものを object with effective homology という。ここで equivalence は単なる chain homotopy equivalence ではなく, reduction という deformation retract の chain complex 版を同値関係に拡張したものである。

• reduction of chain complex

最近では, Marco-Buzunáriz と Romero [MR] のように Rubio と Sergeraert の手法は, effective homology method と呼ばれているようである。 Marco-Buzunáriz と Romero は, 単連結ではない場合を扱うため universal cover を考えている。

Sergeraert は, このアイデアを元に Dousson とともに Kenzo という software を開発している。 代数的トポロジーに関係した様々な計算を行なってくれるようである。 最新版では discrete Morse theory も使うようになったらしい。 Kenzo の user’s guide [RSS] もある。

ホモトピー群についても, ホモロジーの計算に帰着させることで, effective homology を持つ (1-reduced) simplicial set については, Kenzo でも計算できるようである。

References

[MR]

Miguel Angel Marco-Buzunariz and Ana Romero. Computing the homology of universal covers via effective homology and discrete vector fields. arXiv: 2409.06357.

[RS02]

Julio Rubio and Francis Sergeraert. “Constructive algebraic topology”. In: Bull. Sci. Math. 126.5 (2002), pp. 389–412. arXiv: math/0111243. url: http://dx.doi.org/10.1016/S0007-4497(02)01119-3.

[RSS]

Julio Rubio Garcia, Francis Sergeraert, and Yvon Siret. KENZO. url: https://github.com/gheber/kenzo/blob/master/doc/Kenzo-Doc.pdf.

[Ser87a]

Francis Sergeraert. “Homologie effective. I”. In: C. R. Acad. Sci. Paris Sér. I Math. 304.11 (1987), pp. 279–282.

[Ser87b]

Francis Sergeraert. “Homologie effective. II”. In: C. R. Acad. Sci. Paris Sér. I Math. 304.12 (1987), pp. 319–321.