Cubical Complex

Simplicial complex単体を貼り合わせてできているように, 立方体を貼り合わせてできた polyhedral complex が cubical complex である。 様々な場面で現われるが, 例えば, Abramsによる graph の configuration space の cellular model は, cubical complex である。 Abrams は, thesis [Abr00] で彼の modelが \(\mathrm{CAT}(0)\) cubical complex であることを示している。

  • \(\mathrm{CAT(0)}\) cubical complex

Abrams の考えたのは, graph の上の robot motion planning であるが, より一般に, Ghrist と Peterson は [GP07] で graph 上の reconfigurable system というものを考え, それに対し state complex という CAT(0) cubical comlpex を作っている。State complex については, Ardila と Baker と Yatchak の [ABY] で調べられている。

この \(\mathrm{CAT(0)}\) cubical complex というのは, non-positive curvature を持つ cubical complex, ということで, geometric group theory で使われるものであるが, Gromov による link condition で combinatorial に特徴付けられることが知られている。この手のことについては, Bridson と Haefliger の本 [BH99] がある。

  • Gromov の link condition

Farley の [Far] によると, CAT(0) cubical complex での中心となる定理は, Gromov の link condition と Sageev の定理 [Sag95] らしい。 Ardilla, Owen, Sullivant [AOS12] は, \(\mathrm{CAT(0)}\) cubical complex の geodesic を計算する algorithm を考えている。

Cubical complex は, rack やそれに類するものの分類空間の構成でも登場する。Nosaka [Nos] は, cubical manifold を定義して調べている。

  • cubical manifold

組み合せ論の視点からの研究もある。 単体的複体の組み合せ論的研究では, \(f\)-vector や \(h\)-vector などが使われるが, \(h\)-vector の cubical 版もある。Adin の [Adi96] で定義されている。 Athanasiadis の [Ath] では, local \(h\)-vector が定義されている。

Simplicial complex の抽象化として simplicial set があるように, cubical complex の抽象化として cubical set がある。

また, より一般の多面体を貼り合せたものも有用である。



Aaron Abrams. “Configuration Spaces and Braid Groups of Graphs”. PhD thesis. University of California at Berkeley, 2000. url:


Federico Ardila, Tia Baker, and Rika Yatchak. Moving robots efficiently using the combinatorics of CAT(0) cubical complexes. arXiv: 1211.1442.


Ron M. Adin. “A new cubical \(h\)-vector”. In: Proceedings of the 6th Conference on Formal Power Series and Algebraic Combinatorics (New Brunswick, NJ, 1994). Vol. 157. 1-3. 1996, pp. 3–14. url:


Federico Ardila, Megan Owen, and Seth Sullivant. “Geodesics in \(\mathrm{CAT}(0)\) cubical complexes”. In: Adv. in Appl. Math. 48.1 (2012), pp. 142–163. arXiv: 1101.2428. url:


Christos A. Athanasiadis. Cubical subdivisions and local \(h\)-vectors. arXiv: 1007.3154.


Martin R. Bridson and André Haefliger. Metric spaces of non-positive curvature. Vol. 319. Grundlehren der Mathematischen Wissenschaften [Fundamental Principles of Mathematical Sciences]. Berlin: Springer-Verlag, 1999, pp. xxii+643. isbn: 3-540-64324-9.


Daniel Farley. A proof of Sageev’s Theorem on hyperplanes in CAT(0) cubical complexes. arXiv: 0909.0968.


R. Ghrist and V. Peterson. “The geometry and topology of reconfiguration”. In: Adv. in Appl. Math. 38.3 (2007), pp. 302–323. url:


Takefumi Nosaka. de Rham theory and cocycles of cubical sets from smooth quandles. arXiv: 1804.00269.


Michah Sageev. “Ends of group pairs and non-positively curved cube complexes”. In: Proc. London Math. Soc. (3) 71.3 (1995), pp. 585–617. url: