組み合せ論での層

組み合せ論的対象と 層の関係としては, Braden と MacPherson の moment graph の上の層とその intersection (co)homology との関係 [BM01] が有名である。

• graph の上の sheaf

Graph の上の sheaf は, graph を \(1\)次元 単体的複体とみなし, その face poset の上の sheaf とみなすことができる。よって poset 上の (pre)sheaf の方が基本的である。

また, finite poset は, Alexandroff topology により \(T_0\)空間, つまり finite space とみなすことができるが, その finite space 上の 層は, 元の poset 上の presheaf と同じものである。 この視点からも, poset 上の presheaf が調べられている。

• poset 上の presheaf

位相空間でも, 単体的複体の上の sheaf は「組み合せ論的」である。Lazarev と Voronov の [LV08] の §1 など。

環の層が指定された空間が ringed space であるが, 空間が finite space の場合について, Sancho de Salas [San; San18] が調べている。 Ringed site の場合は, Wu と Xu [WX23] により調べられている。

• ringed finite space and ringed finite site

Fioresi, Simonetti, Zanchetta [FSZa] は, smooth manifold や scheme などから, ringed finite space を構成する方法を提案している。また, [FSZb] では, graph 上の sheaf を discrete noncommutative geometry に使うことを提案している。

References

[BM01]

Tom Braden and Robert MacPherson. “From moment graphs to intersection cohomology”. In: Math. Ann. 321.3 (2001), pp. 533–551. arXiv: math/0008200. url: http://dx.doi.org/10.1007/s002080100232.

[FSZa]

Rita Fioresi, Angelica Simonetti, and Ferdinando Zanchetta. On Gluing Data, Finite Ringed Spaces and schemes. arXiv: 2602.21184.

[FSZb]

Rita Fioresi, Angelica Simonetti, and Ferdinando Zanchetta. Sheaves on Graphs and their Differential Calculi. arXiv: 2602.21176.

[LV08]

A. Lazarev and A. A. Voronov. “Graph homology: Koszul and Verdier duality”. In: Adv. Math. 218.6 (2008), pp. 1878–1894. arXiv: math/0702313. url: http://dx.doi.org/10.1016/j.aim.2008.03.022.

[San]

Fernando Sancho de Salas. Ringed Finite Spaces. arXiv: 1409.4574.

[San18]

Fernando Sancho de Salas. “Homotopy of finite ringed spaces”. In: J. Homotopy Relat. Struct. 13.3 (2018), pp. 481–501. arXiv: 1511.06284. url: https://doi.org/10.1007/s40062-017-0190-2.

[WX23]

Mawei Wu and Fei Xu. “Skew category algebras and modules on ringed finite sites”. In: J. Algebra 631 (2023), pp. 194–217. arXiv: 2207.04731. url: https://doi.org/10.1016/j.jalgebra.2023.04.026.