代数群や group scheme のコホモロジー

代数幾何学的な群の一般化として, 代数群や group schemeがある。

• 体 \(k\) 上の finite group scheme \(G\) の \(k\)係数のコホモロジー \(H^*(G;k)\) は有限生成 \(k\)-algebra である。 また有限次元 \(G\)-module \(M\) に対し, \(H^*(G;M)\) は \(H^*(G;k)\) 上 有限である。(FriedlanderとSuslin [FS97])

Friedlander と Suslin は, \(k\)上の有限次元 vector space の圏からそれ自身への polynomial functorという概念を導入し, その圏 \(\mathcal{P}(k)\) での \(\Ext \) を用いて上の定理を証明している。

具体的には, \(\GL _n\) の stable cohomology との関係が分かっている。

• \(P, Q\) が degree \(d\) の homogeneous polynomial functor であり, \(n\ge d\) ならば自然な同型 \[ \Ext ^*_{\mathcal{P(k)}}(P,Q) \cong \Ext ^*_{\GL _n}(P(k^n),Q(k^n)) \] がある。

これを発展させ, Friedlander は共同研究者達と共に有限次元 vector space の 間の functor の成す圏での \(\Ext \) そして bifunctor の成す圏での \(\Ext \) などを考えている。 [Fra+99; FF08] など。

Vespa は, [Ves] で \(k\) が標数 \(2\) の場合を考え, \(\mathcal{F}(\F _2)\) と近い関係にある \(\mathcal{F}_{\textit{quad}}\) という圏を定義し, [Ves07] でその性質を調べている。

References

[FF08]

Vincent Franjou and Eric M. Friedlander. “Cohomology of bifunctors”. In: Proc. Lond. Math. Soc. (3) 97.2 (2008), pp. 514–544. arXiv: math/0509089. url: http://dx.doi.org/10.1112/plms/pdn005.

[Fra+99]

Vincent Franjou, Eric M. Friedlander, Alexander Scorichenko, and Andrei Suslin. “General linear and functor cohomology over finite fields”. In: Ann. of Math. (2) 150.2 (1999), pp. 663–728. arXiv: math/9909194. url: http://dx.doi.org/10.2307/121092.

[FS97]

Eric M. Friedlander and Andrei Suslin. “Cohomology of finite group schemes over a field”. In: Invent. Math. 127.2 (1997), pp. 209–270. url: http://dx.doi.org/10.1007/s002220050119.

[Ves]

Christine Vespa. The functor category \(\mathcal{F}_{\mathrm{quad}}\). arXiv: math/0606484.

[Ves07]

Christine Vespa. “Generic representations of orthogonal groups: the mixed functors”. In: Algebr. Geom. Topol. 7 (2007), pp. 379–410. arXiv: math/0611560. url: http://dx.doi.org/10.2140/agt.2007.7.379.