Categorification

21世紀になって, “categorification” という言葉がよく聞かれるようになった。 90年代半ばに Crane が考えた [Cra95; CF94] 概念らしい。 有名になったのは, Khovanov による Jones polynomial の categorification の発見からだろうか。

しかしながら, categorification という言葉は使わなくても, 同じようなアイデアは古くから使われている。 例えば, Propp の [Pro] に収録されている最初の論文は

A combinatorialist’s fundamental model of a non-negative integer \(n\) is a set of \(n\) points.

という一文で始まっている。Zeilberger [Zei] は, 自然数の間の等式や不等式を, 有限集合の間の全単射や単射を構成することにって証明することを combinatorialization と呼んでいるが, このように 組み合せ論では, 自然数を有限集合で置き換えることは, 古くから考えられてきた。これも立派な categorification である。

一般に categorification についての解説として [BD98] があるので, まずはこれを読んでみるといいだろう。他には, [CY98] や [Ion], そして [BD01] も見るとよい。

References

[BD01]

John C. Baez and James Dolan. “From finite sets to Feynman diagrams”. In: Mathematics unlimited—2001 and beyond. Berlin: Springer, 2001, pp. 29–50. arXiv: math/0004133.

[BD98]

John C. Baez and James Dolan. “Categorification”. In: Higher category theory (Evanston, IL, 1997). Vol. 230. Contemp. Math. Providence, RI: Amer. Math. Soc., 1998, pp. 1–36. arXiv: math/9802029.

[CF94]

Louis Crane and Igor B. Frenkel. “Four-dimensional topological quantum field theory, Hopf categories, and the canonical bases”. In: J. Math. Phys. 35.10 (1994). Topology and physics, pp. 5136–5154. url: http://dx.doi.org/10.1063/1.530746.

[Cra95]

Louis Crane. “Clock and category: is quantum gravity algebraic?” In: J. Math. Phys. 36.11 (1995), pp. 6180–6193. url: http://dx.doi.org/10.1063/1.531240.

[CY98]

Louis Crane and David N. Yetter. “Examples of categorification”. In: Cahiers Topologie Géom. Différentielle Catég. 39.1 (1998), pp. 3–25. arXiv: q-alg/9607028.

[Ion]

Lucian M. Ionescu. On Categorification. arXiv: math/9906038.

[Pro]

James Propp. Euler measure as generalized cardinality. arXiv: math/0203289.

[Zei]

Doron Zeilberger. \(5\choose 2\) Proofs that \({n\choose k} \leq{n\choose{k+1}}\) if \(k<n/2\). arXiv: 1003.1273.