Algebraic Quantum Field Theory

Quantum field theory の formulation として algebraic quantum field theory と呼ばれるものがある。Haag と Kastler [HK64] により導入された。

以下のような講義ノートや本など入手可能である。

  • Hawkins [Haw] は Haag の本 [Haa96] を参照している。
  • Schroer の [Sch]
  • John Roberts の [Rob90] や [Rob04]
  • Fredenhagen と Rejzner の講義ノート [FR] は algebraic quantum mechanics から始まる。
  • Kawahigashi の講義ノート [Kaw15] は vertex operator algebra との関係に焦点を当てている。
  • Donald Yau の [Yau]

定義は簡単で, 位相空間の開集合の成す small category (poset) から, algebra の category への covariant functor で, ある条件をみたすものである。

定義域をもっと一般的な small category にしようと考えている人もいる。 Benini と Schenkel と Woike [BSW] は, そのために orthogonal category という概念を導入した。 更に値域も monoidal categorymonoid object の成す category に一般化するのは自然である。

彼等は, algebraic quantum field theory をその上の algebra として表す operad を定義している。

  • algebraic quantum field theory operad

Donald Yau の [Yau] では homotopy algebraic quantum field theory が導入されている。

  • homotopy algebraic quantum field theory

References

[BSW]

Marco Benini, Alexander Schenkel, and Lukas Woike. Operads for algebraic quantum field theory. arXiv: 1709.08657.

[FR]

Klaus Fredenhagen and Katarzyna Rejzner. Perturbative algebraic quantum field theory. arXiv: 1208.1428.

[Haa96]

Rudolf Haag. Local quantum physics. Second. Texts and Monographs in Physics. Fields, particles, algebras. Springer-Verlag, Berlin, 1996, pp. xvi+390. isbn: 3-540-61451-6; 3-540-61049-9. url: http://dx.doi.org/10.1007/978-3-642-61458-3.

[Haw]

Eli Hawkins. A Cohomological Perspective on Algebraic Quantum Field Theory. arXiv: 1612.05161.

[HK64]

Rudolf Haag and Daniel Kastler. “An algebraic approach to quantum field theory”. In: J. Mathematical Phys. 5 (1964), pp. 848–861. url: https://doi.org/10.1063/1.1704187.

[Kaw15]

Yasuyuki Kawahigashi. “Conformal field theory, tensor categories and operator algebras”. In: J. Phys. A 48.30 (2015), pp. 303001, 57. arXiv: 1503.05675. url: https://doi.org/10.1088/1751-8113/48/30/303001.

[Rob04]

J. E. Roberts. “More lectures on algebraic quantum field theory”. In: Noncommutative geometry. Vol. 1831. Lecture Notes in Math. Berlin: Springer, 2004, pp. 263–342. url: http://dx.doi.org/10.1007/978-3-540-39702-1_5.

[Rob90]

J. E. Roberts. “Lectures on algebraic quantum field theory”. In: The algebraic theory of superselection sectors (Palermo, 1989). World Sci. Publ., River Edge, NJ, 1990, pp. 1–112.

[Sch]

Bert Schroer. Lectures on Algebraic Quantum Field Theory and Operator Algebras. arXiv: math-ph/0102018.

[Yau]

Donald Yau. Homotopical Quantum Field Theory. arXiv: 1802.08101.