代数的およびホモロジー代数的構成の spectrum の圏での類似

ホモロジー代数や, それに関連した分野で行なわれる代数的構成の中に, stable model category, 特に spectrummodel category の対象に対して適用できるものがある。 また関連した定義も spectrum の category の言葉に翻訳できる場合が多い。

Ring spectrum に対しては, まず module の概 念が定義できる。よって, derived category を考えることもできる。

また, topological Hochschild homology のような, 環のホモロジーやコホモロジーの類似も定義できる。

Lie algebra は, operad 上の algebra として定義する。 その operad は, Goodwillie calculus の研究で Ching [Chi05] により得られたものである。 その operad 上の algebra を spectral Lie algebra と呼ぶ。 Unstable homotopy theory での \(v_{n}\)周期性 を調べるのに使われている。

  • spectral Lie algebra

Steenrod algebra 上の module に対する構成の spectrum level での類似も考えられている。Lunøe-Nielsen と Rognes の [LR12] では Singer construction の spectrum version が構成されている。

環に対する各種の次元の ring spectrum 版については, Hovey と Lockridge が色々調べている。

  • ring spectrum の各種次元 ([HL11; HL13])

これらは単なる類似というより, 拡張というべきだろう。Dugger と Shipley の結果 [Shi07; Shi; DS07] により, differential graded algebra は ring spectrum とみなすことができるし, 逆に Eilenberg-Mac Lane spectrum 上の algebra spectrum の model category は differential graded algebra の model category と Quillen 同値になるからである。 Richter と Shipley [RS17] は, Eilenberg-Mac Lane spectrum 上の commutative algebra spectrum の場合を考えている。

Azumaya algebra や Brauer group も考えることができる。Baker と Richter の [BRS12] があるし, より一般的には Niles Johnson の [Joh14] がある。

より初等的な環論に登場する概念の類似は, 最近になって少しづつ考えられるようになってきた。例えば, Hovey [Hov] は ring spectrum の ideal の理論を考えている。元々は, Jeff Smith のアイデアらしいが。

可換環でできることを, commutative ring spectrum に拡張することも考えられている。一つの方向として, 代数幾何学の類似を commutative ring spectrum で行なうというものがある。 他にも Fontaine-Illusie-Kato の logarithmic geometry [Kat89] の類似を Rognes [Rog09] が考えている。

Rognes [Rog; Rog08] は, Galois 理論の類似を展開している。

体論における概念の類似としては, unramified extension や totally ramified extension の概念の拡張が, Berman [Ber] により導入されている。

Carlsson は, [Car08] で derived completion を定義した。また, それに関連したものとして, [Car11] で deformation \(K\)-theory というものを定義している。T. Lawson の [Law06b] や Ramras の [Ram07] などを見るとよい。

  • derived completion
  • deformation \(K\)-theory

これは, 群の表現の成す圏から定義される spectrum で, 表現環と, 分類空間の \(K\)-theory の間の completion を取ったものとの同型を与える Atiyah-Segal の定理の拡張を考える際に有用である。関連して, deformation representation ring [Law06a] などが考えられている。

これらは「ホモロジー代数的構成」とは言えないかもしれないが, Abel圏での構成を derived category に拡張することの類似で, 代数的構成を spectrum の圏での構成に拡張したものという点で, 「ホモロジー代数的」である。

Ralph Cohen と Klang [CK20] は, Calabi-Yau algebra などの概念 を spectrum の世界に導入している。

一方, spectrum の圏での構成の類似を chain complex で行なうという試みもある。 Kaledin の [Kal11; Kal13] などである。これらは equivariant stable homotopy theory を元にしたものであるが, 群の作用を持つ場合は (安定) ホモトピー論の方が, 進んでいるということだろうか。

References

[Ber]

John D. Berman. Ramification and descent in homotopy theory and derived algebraic geometry. arXiv: 2112.14568.

[BRS12]

Andrew Baker, Birgit Richter, and Markus Szymik. “Brauer groups for commutative \(S\)-algebras”. In: J. Pure Appl. Algebra 216.11 (2012), pp. 2361–2376. arXiv: 1005 . 5370. url: http://dx.doi.org/10.1016/j.jpaa.2012.03.001.

[Car08]

Gunnar Carlsson. “Derived completions in stable homotopy theory”. In: J. Pure Appl. Algebra 212.3 (2008), pp. 550–577. arXiv: 0707. 2585. url: http://dx.doi.org/10.1016/j.jpaa.2007.06.015.

[Car11]

Gunnar E. Carlsson. “Derived representation theory and the algebraic \(K\)-theory of fields”. In: J. Topol. 4.3 (2011), pp. 543–572. arXiv: 0810.4826. url: http://dx.doi.org/10.1112/jtopol/jtr013.

[Chi05]

Michael Ching. “Bar constructions for topological operads and the Goodwillie derivatives of the identity”. In: Geom. Topol. 9 (2005), 833–933 (electronic). arXiv: math / 0501429. url: http://dx.doi.org/10.2140/gt.2005.9.833.

[CK20]

Ralph L. Cohen and Inbar Klang. “Twisted Calabi-Yau ring spectra, string topology, and gauge symmetry”. In: Tunis. J. Math. 2.1 (2020), pp. 147–196. arXiv: 1802 . 08930. url: https://doi.org/10.2140/tunis.2020.2.147.

[DS07]

Daniel Dugger and Brooke Shipley. “Topological equivalences for differential graded algebras”. In: Adv. Math. 212.1 (2007), pp. 37–61. arXiv: math/0604259. url: http://dx.doi.org/10.1016/j.aim.2006.09.013.

[HL11]

Mark Hovey and Keir Lockridge. “The ghost and weak dimensions of rings and ring spectra”. In: Israel J. Math. 182 (2011), pp. 31–46. arXiv: 0903.4659. url: https://doi.org/10.1007/s11856-011-0022-8.

[HL13]

Mark Hovey and Keir Lockridge. “Homological dimensions of ring spectra”. In: Homology Homotopy Appl. 15.2 (2013), pp. 53–71. arXiv: 1001.0902. url: https://doi.org/10.4310/HHA.2013.v15.n2.a3.

[Hov]

Mark Hovey. Smith ideals of structured ring spectra. arXiv: 1401. 2850.

[Joh14]

Niles Johnson. “Azumaya objects in triangulated bicategories”. In: J. Homotopy Relat. Struct. 9.2 (2014), pp. 465–493. arXiv: 1005.4878. url: http://dx.doi.org/10.1007/s40062-013-0035-6.

[Kal11]

D. Kaledin. “Derived Mackey functors”. In: Mosc. Math. J. 11.4 (2011), pp. 723–803, 822. arXiv: 0812.2519.

[Kal13]

D. B. Kaledin. “Cyclotomic complexes”. In: Izv. Ross. Akad. Nauk Ser. Mat. 77.5 (2013), pp. 3–70. arXiv: 1003.2810.

[Kat89]

Kazuya Kato. “Logarithmic structures of Fontaine-Illusie”. In: Algebraic analysis, geometry, and number theory (Baltimore, MD, 1988). Baltimore, MD: Johns Hopkins Univ. Press, 1989, pp. 191–224.

[Law06a]

Tyler Lawson. “Completed representation ring spectra of nilpotent groups”. In: Algebr. Geom. Topol. 6 (2006), pp. 253–286. arXiv: 0902.4867. url: http://dx.doi.org/10.2140/agt.2006.6.253.

[Law06b]

Tyler Lawson. “The product formula in unitary deformation \(K\)-theory”. In: \(K\)-Theory 37.4 (2006), pp. 395–422. arXiv: math / 0503468. url: http://dx.doi.org/10.1007/s10977-006-9003-9.

[LR12]

Sverre Lunøe-Nielsen and John Rognes. “The topological Singer construction”. In: Doc. Math. 17 (2012), pp. 861–909. arXiv: 1010. 5633.

[Ram07]

Daniel A. Ramras. “Excision for deformation \(K\)-theory of free products”. In: Algebr. Geom. Topol. 7 (2007), pp. 2239–2270. arXiv: math/ 0703463. url: http://dx.doi.org/10.2140/agt.2007.7.2239.

[Rog]

John Rognes. Galois extensions of structured ring spectra. arXiv: math/0502183.

[Rog08]

John Rognes. “Galois extensions of structured ring spectra. Stably dualizable groups”. In: Mem. Amer. Math. Soc. 192.898 (2008), pp. viii+137. url: http://dx.doi.org/10.1090/memo/0898.

[Rog09]

John Rognes. “Topological logarithmic structures”. In: New topological contexts for Galois theory and algebraic geometry (BIRS 2008). Vol. 16. Geom. Topol. Monogr. Geom. Topol. Publ., Coventry, 2009, pp. 401–544. url: http://dx.doi.org/10.2140/gtm.2009.16.401.

[RS17]

Birgit Richter and Brooke Shipley. “An algebraic model for commutative \(H\Z \)-algebras”. In: Algebr. Geom. Topol. 17.4 (2017), pp. 2013–2038. arXiv: 1411.7238. url: https://doi.org/10.2140/agt.2017.17.2013.

[Shi]

Brooke Shipley. Correction to: \(H\Z \)-algebra spectra are differential graded algebras. arXiv: 0708.1299.

[Shi07]

Brooke Shipley. “\(H\Z \)-algebra spectra are differential graded algebras”. In: Amer. J. Math. 129.2 (2007), pp. 351–379. arXiv: math/0209215. url: http://dx.doi.org/10.1353/ajm.2007.0014.