ホモロジー代数や, それに関連した分野で行なわれる代数的構成の中に, stable model category, 特に spectrum
の model category の対象に対して適用できるものがある。 また関連した定義も spectrum の category
の言葉に翻訳できる場合が多い。
Ring spectrum に対しては, まず module の概 念が定義できる。よって, derived category
を考えることもできる。
また, topological Hochschild homology のような, 環のホモロジーやコホモロジーも定義できる。
Steenrod algebra 上の module に対する構成の spectrum level での類似も考えられている。Lunøe-Nielsen と
Rognes の [LR12] では Singer construction の spectrum version が構成されている。
環に対する各種の次元の ring spectrum 版については, Hovey と Lockridge が色々調べている。
これらは単なる類似というより, 拡張というべきだろう。Dugger と Shipley の結果 [Shi07; Shi; DS07] により,
differential graded algebra は ring spectrum とみなすことができるし, 逆に Eilenberg-Mac Lane
spectrum 上の algebra spectrum の model category は differential graded algebra の model
category と Quillen 同値になるからである。 Richter と Shipley [RS17] は, Eilenberg-Mac Lane
spectrum 上の commutative algebra spectrum の場合を考えている。
Azumaya algebra や Brauer group も考えることができる。Baker と Richter の [BRS12] があるし,
より一般的には Niles Johnson の [Joh14] がある。
より初等的な環論に登場する概念の類似は, 最近になって少しづつ考えられるようになってきた。例えば, Hovey [Hov] は ring
spectrum の ideal の理論を考えている。元々は, Jeff Smith のアイデアらしいが。
可換環でできることを, commutative ring spectrum に拡張することも考えられている。一つの方向として,
代数幾何学の類似を commutative ring spectrum で行なうというものがある。 他にも Fontaine-Illusie-Kato の
logarithmic geometry [Kat89] の類似を Rognes [Rog09] が考えている。
Rognes [Rog; Rog08] は, Galois 理論の類似を展開している。
体論における概念の類似としては, unramified extension や totally ramified extension の概念の拡張が,
Berman [Ber] により導入されている。
Carlsson は, [Car08] で derived completion を定義した。また, それに関連したものとして, [Car11] で
deformation \(K\)-theory というものを定義している。T. Lawson の [Law06b] や Ramras の [Ram07]
などを見るとよい。
- derived completion
-
deformation \(K\)-theory
これは, 群の表現の成す圏から定義される spectrum で, 表現環と, 分類空間の \(K\)-theory の間の completion
を取ったものとの同型を与える Atiyah-Segal の定理の拡張を考える際に有用である。関連して, deformation representation
ring [Law06a] などが考えられている。
これらは「ホモロジー代数的構成」とは言えないかもしれないが, Abel圏での構成を derived category に拡張することの類似で,
代数的構成を spectrum の圏での構成に拡張したものという点で, 「ホモロジー代数的」である。
Ralph Cohen と Klang [CK20] は, Calabi-Yau algebra などの概念 を spectrum
の世界に導入している。
一方, spectrum の圏での構成の類似を chain complex で行なうという試みもある。 Kaledin の [Kal11;
Kal13] などである。これらは equivariant stable homotopy theory を元にしたものであるが, 群の作用を持つ場合は
(安定) ホモトピー論の方が, 進んでいるということだろうか。
References
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