ホモロジー代数における構成の spectrum の圏での類似

ホモロジー代数や, それに関連した分野で行なわれる代数的構成の中に, stable model category, 特に spectrum の model category の対象に対して適用できるものがある。 また関連した定義も spectrum の category の言葉に翻訳できる場合が多い。

まず topological Hochschild homology のような, 環のホモロジーやコホモロジーの類似がある。

• ring spectrum の 代数的(コ)ホモロジー

Steenrod algebra 上の module に対する構成の spectrum level での類似も考えられている。Lunøe-Nielsen と Rognes の [LR12] では Singer construction の spectrum version が構成されている。

Ring spectrum に対しては, derived category も定義できる。 例えば, Patchkoria [Pat17] は, odd prime で localize した complex \(K\)-theory spectrum の derived category を調べている。

• ring spectrum の derived category

環に対する各種の次元の ring spectrum 版については, Hovey と Lockridge が色々調べている。

• ring spectrum の各種次元 ([HLb; HLa])

これらは単なる類似というより, 拡張というべきだろう。Dugger と Shipley の結果 [Shi07; Shi; DS07] により, differential graded algebra は ring spectrum とみなすことができるし, 逆に Eilenberg-Mac Lane spectrum 上の algebra spectrum の model category は differential graded algebra の model category と Quillen 同値になるからである。 Richter と Shipley [RS] は, Eilenberg-Mac Lane spectrum 上の commutative algebra spectrum の場合を考えている。

Azumaya algebra や Brauer group も考えることができる。Baker と Richter の [BRS12] があるし, より一般的には Niles Johnson の [Joh14] がある。

より初等的な環論に登場する概念の類似は, 最近になって少しづつ考えられるようになってきた。例えば, Hovey [Hov] は ring spectrum の ideal の理論を考えている。元々は, Jeff Smith のアイデアらしいが。

可換環でできることを, commutative ring spectrum に拡張することも考えられている。一つの方向として, 代数幾何学の類似を commutative ring spectrum で行なうというものがある。 他にも Fontaine-Illusie-Kato の logarithmic geometry [Kat89] の類似を Rognes [Rog09] が考えている。

Carlsson は, [Car08] で derived completion を定義した。また, それに関連したものとして, [Car11] で deformation \(K\)-theory というものを定義している。T. Lawson の [Law06b] や Ramras の [Ram07] などを見るとよい。

• derived completion
• deformation \(K\)-theory

これは, 群の表現の成す圏から定義される spectrum で, 表現環と, 分類空間の \(K\)-theory の間の completion を取ったものとの同型を与える Atiyah-Segal の定理の拡張を考える際に有用である。関連して, deformation representation ring [Law06a] などが考えられている。

これらは「ホモロジー代数的構成」とは言えないかもしれないが, Abel圏での構成を derived category に拡張することの類似で, 代数的構成を spectrum の圏での構成に拡張したものという点で, 「ホモロジー代数的」である。

Ralph Cohen と Klang [CK] は, Calabi-Yau algebra などの概念 を spectrum の世界に導入している。

一方, spectrum の圏での構成の類似を chain complex で行なうという試みもある。 Kaledin の [Kal11; Kal13] などである。これらは equivariant stable homotopy theory を元にしたものであるが, 群の作用を持つ場合は (安定) ホモトピー論の方が, 進んでいるということだろうか。

References

[BRS12]

Andrew Baker, Birgit Richter, and Markus Szymik. “Brauer groups for commutative \(S\)-algebras”. In: J. Pure Appl. Algebra 216.11 (2012), pp. 2361–2376. arXiv: 1005.5370. url: http://dx.doi.org/10.1016/j.jpaa.2012.03.001.

[Car08]

Gunnar Carlsson. “Derived completions in stable homotopy theory”. In: J. Pure Appl. Algebra 212.3 (2008), pp. 550–577. arXiv: 0707.2585. url: http://dx.doi.org/10.1016/j.jpaa.2007.06.015.

[Car11]

Gunnar E. Carlsson. “Derived representation theory and the algebraic \(K\)-theory of fields”. In: J. Topol. 4.3 (2011), pp. 543–572. arXiv: 0810.4826. url: http://dx.doi.org/10.1112/jtopol/jtr013.

[CK]

Ralph L. Cohen and Inbar Klang. Twisted Calabi-Yau ring spectra, string topology, and gauge symmetry. arXiv: 1802.08930.

[DS07]

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[HLa]

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[HLb]

Mark Hovey and Keir Lockridge. The ghost and weak dimensions of rings and ring spectra. arXiv: 0903.4659.

[Hov]

Mark Hovey. Smith ideals of structured ring spectra. arXiv: 1401.2850.

[Joh14]

Niles Johnson. “Azumaya objects in triangulated bicategories”. In: J. Homotopy Relat. Struct. 9.2 (2014), pp. 465–493. arXiv: 1005.4878. url: http://dx.doi.org/10.1007/s40062-013-0035-6.

[Kal11]

D. Kaledin. “Derived Mackey functors”. In: Mosc. Math. J. 11.4 (2011), pp. 723–803, 822. arXiv: 0812.2519.

[Kal13]

D. B. Kaledin. “Cyclotomic complexes”. In: Izv. Ross. Akad. Nauk Ser. Mat. 77.5 (2013), pp. 3–70. arXiv: 1003.2810.

[Kat89]

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[Law06a]

Tyler Lawson. “Completed representation ring spectra of nilpotent groups”. In: Algebr. Geom. Topol. 6 (2006), pp. 253–286. arXiv: 0902.4867. url: http://dx.doi.org/10.2140/agt.2006.6.253.

[Law06b]

Tyler Lawson. “The product formula in unitary deformation \(K\)-theory”. In: \(K\)-Theory 37.4 (2006), pp. 395–422. arXiv: math/0503468. url: http://dx.doi.org/10.1007/s10977-006-9003-9.

[LR12]

Sverre Lunøe-Nielsen and John Rognes. “The topological Singer construction”. In: Doc. Math. 17 (2012), pp. 861–909. arXiv: 1010.5633.

[Pat17]

Irakli Patchkoria. “The derived category of complex periodic \(K\)-theory localized at an odd prime”. In: Adv. Math. 309 (2017), pp. 392–435. arXiv: 1603.04681. url: https://doi.org/10.1016/j.aim.2017.01.023.

[Ram07]

Daniel A. Ramras. “Excision for deformation \(K\)-theory of free products”. In: Algebr. Geom. Topol. 7 (2007), pp. 2239–2270. arXiv: math/0703463. url: http://dx.doi.org/10.2140/agt.2007.7.2239.

[Rog09]

John Rognes. “Topological logarithmic structures”. In: New topological contexts for Galois theory and algebraic geometry (BIRS 2008). Vol. 16. Geom. Topol. Monogr. Geom. Topol. Publ., Coventry, 2009, pp. 401–544. url: http://dx.doi.org/10.2140/gtm.2009.16.401.

[RS]

Birgit Richter and Brooke Shipley. An algebraic model for commutative \(H\Z \)-algebras. arXiv: 1411.7238.

[Shi]

Brooke Shipley. Correction to: \(H\Z \)-algebra spectra are differential graded algebras. arXiv: 0708.1299.

[Shi07]

Brooke Shipley. “\(H\Z \)-algebra spectra are differential graded algebras”. In: Amer. J. Math. 129.2 (2007), pp. 351–379. arXiv: math/0209215. url: http://dx.doi.org/10.1353/ajm.2007.0014.