小圏の分類空間を調べるときに最も有用な道具が, Quillen が [Qui73]で証明したTheorem AとBである。
- Quillen の Theorem A, つまりfunctor \[ f : C \longrightarrow D \] と \(D\) の object \(y\) に対し, \(y\downarrow f\) を \(v : y \to f(x)\)である組 \((x,v)\) の成す圏, つまり
comma category とする。もし, \(D\) の各 object \(y\)に対し \(B(y\downarrow f)\) が可縮ならば, \(Bf\) はホモトピー同値である。
-
QuillenのTheorem B, つまり functor \[ f : C \longrightarrow D \] に対し, 任意の \(D\) の morphism \(v : y \to y'\) が誘導する morphism
\[ v^* : y'\downarrow f \longrightarrow y\downarrow f \] が分類空間のホモトピー同値を与えるなら \[ B(y\downarrow f) \longrightarrow BC \rarrow{Bf} BD \] はquasifibration である。
上の Theorem B の条件はあまり良いものではない。関手 \[ f : C \longrightarrow D \] の \(y \in D_{0}\) 上の fiber と呼ぶべきものは \(f(x)=y\) であるobject \(x \in C_{0}\) と \(f(u) = 1_y\)
であるmorphism \(u\) から 成る \(C\) の subcategory \(f^{-1}(y)\) である。\(f^{-1}(y)\) と \(y\downarrow f\) の関係を述べるために, Quillenは [Qui73] で
Grothendieckの導入した (pre)fibered categoryという 概念を用いている。
- Functor \[ f : C \longrightarrow D \] がprefiberedである とする。もし, \(D\)の任意のmorphism \(v : y \to y'\)に対 しbase-change functor
\[ v^* : f^{-1}(y') \longrightarrow f^{-1}(y) \] が分類空間の間の弱ホモトピー同値を誘導するなら \[ Bf : BC \longrightarrow BD \] はquasifibrationである。
QuillenによるTheorem Bの証明は, quasifibrationに関する Dold-Thom
criterionに帰着 させるものである。Jardineは[Jar89]で simplicial set (と bisimplicial set)の
モデル圏で議論することによりquasifibration を用いずに証明している。Simplicial category への一般化については,
Rognesのホーム ページからdownloadできるWaldhausenとJahrenとRognesによるpreprint “The stable
parametrized \(h\)-cobordism theorem”を見るとよい。元々は Waldhausen [Wal82]によるようであるが。他には,
Evrard [Evr75]によるstrong homotopyを用いた証明もある。
Theorem Bの条件を弱めたものとして, DwyerとKanとSmithの [DKS89]がある。BarwickとKanの
[BKa; BKb]も見るとよい。
Dotto [Dotb] はBarwick-Kan の Theorem \(\mathrm{B}_2\) のより一 般の図式への拡張を得ている。小圏 \(I\) で index された図式 \(I\to \category{Cat}\)
に対するものを Theorem \(\mathrm{B}^{I}\) と呼んで いる。また [Dota]では, equivariant版も示している。
- Theorem \(\mathrm{B}^{I}\)
- equivariant Theorem B
例によって, Lurieの本 [Lur09] に quasicategory版が書いてある。Joyalの定理とし て Theorem
4.1.3.1として書かれている。Theorem Aの拡張である。
\((\infty ,1)\)-categoryに対する Theorem \(\mathrm{B}_n\) などの一般化については, Mazel-Gee の[Maz]にあ る。
Enriched categoryで考えようと いうのが, Meyerの[Mey86]である。
特にsmall categoryのcategoryで enrichされた場合, つまり, \(2\)-categoryへの一般化はCegarraの
[Ceg11]で考えられている。また, bicategory版がCalvoとCegarraとHeredia [CCH]やdel Hoyo
[Hoy12]により得られている。 またその一般化がCiche [Chi]により得られている。
- bicategorical Theorem A and B
Object の集合も位相を持つような topological category (位相空間の category での internal category)
に対して は, Libman [Lib11] が Theorem A を証明している。
Topological combinatoricsでは, posetに限定したより単純な形がよく使われる。 Poset fiber theorem
と呼ばれることが多いようである。AndersonとDavisの [AD02]では, Babson’s Criterionとして述べられている。
Appendixには, その証明もある。
- poset fiber theorem
- Babson’s criterion
また, 様々なvariationも考えられている。KallipolitiとKubitzke の [KK]やFernandezとMinianの[FM]など。Barmakによる
simple homotopy版 [Bar11]も ある。Barmakのものは“poset fiber theorem”の 簡単な別証にもなっている。
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