QuillenのTheorem AとB

小圏の分類空間を調べるときに最も有用な道具が, Quillen が [Qui73]で証明したTheorem AとBである。

• Quillen の Theorem A, つまりfunctor \[ f : C \longrightarrow D \] と \(D\) の object \(y\) に対し, \(y\downarrow f\) を \(v : y \to f(x)\)である組 \((x,v)\) の成す圏, つまり comma category とする。もし, \(D\) の各 object \(y\)に対し \(B(y\downarrow f)\) が可縮ならば, \(Bf\) はホモトピー同値である。
• QuillenのTheorem B, つまり functor \[ f : C \longrightarrow D \] に対し, 任意の \(D\) の morphism \(v : y \to y'\) が誘導する morphism \[ v^* : y'\downarrow f \longrightarrow y\downarrow f \] が分類空間のホモトピー同値を与えるなら \[ B(y\downarrow f) \longrightarrow BC \rarrow{Bf} BD \] はquasifibration である。

上の Theorem B の条件はあまり良いものではない。関手 \[ f : C \longrightarrow D \] の \(y \in D_{0}\) 上の fiber と呼ぶべきものは \(f(x)=y\) であるobject \(x \in C_{0}\) と \(f(u) = 1_y\) であるmorphism \(u\) から 成る \(C\) の subcategory \(f^{-1}(y)\) である。\(f^{-1}(y)\) と \(y\downarrow f\) の関係を述べるために, Quillenは [Qui73] で Grothendieckの導入した (pre)fibered categoryという 概念を用いている。

• Functor \[ f : C \longrightarrow D \] がprefiberedである とする。もし, \(D\)の任意のmorphism \(v : y \to y'\)に対 しbase-change functor \[ v^* : f^{-1}(y') \longrightarrow f^{-1}(y) \] が分類空間の間の弱ホモトピー同値を誘導するなら \[ Bf : BC \longrightarrow BD \] はquasifibrationである。

QuillenによるTheorem Bの証明は, quasifibrationに関する Dold-Thom criterionに帰着 させるものである。Jardineは[Jar89]で simplicial set (と bisimplicial set)の モデル圏で議論することによりquasifibration を用いずに証明している。Simplicial category への一般化については, Rognesのホーム ページからdownloadできるWaldhausenとJahrenとRognesによるpreprint “The stable parametrized \(h\)-cobordism theorem”を見るとよい。元々は Waldhausen [Wal82]によるようであるが。他には, Evrard [Evr75]によるstrong homotopyを用いた証明もある。

Theorem Bの条件を弱めたものとして, DwyerとKanとSmithの [DKS89]がある。BarwickとKanの [BKa; BKb]も見るとよい。

• Theorem \(\mathrm{B}_n\)

Dotto [Dotb] はBarwick-Kan の Theorem \(\mathrm{B}_2\) のより一 般の図式への拡張を得ている。小圏 \(I\) で index された図式 \(I\to \category{Cat}\) に対するものを Theorem \(\mathrm{B}^{I}\) と呼んで いる。また [Dota]では, equivariant版も示している。

• Theorem \(\mathrm{B}^{I}\)
• equivariant Theorem B

例によって, Lurieの本 [Lur09] に quasicategory版が書いてある。Joyalの定理とし て Theorem 4.1.3.1として書かれている。Theorem Aの拡張である。

• quasicategoryの Theorem A

\((\infty ,1)\)-categoryに対する Theorem \(\mathrm{B}_n\) などの一般化については, Mazel-Gee の[Maz]にあ る。

Enriched categoryで考えようと いうのが, Meyerの[Mey86]である。

特にsmall categoryのcategoryで enrichされた場合, つまり, \(2\)-categoryへの一般化はCegarraの [Ceg11]で考えられている。また, bicategory版がCalvoとCegarraとHeredia [CCH]やdel Hoyo [Hoy12]により得られている。 またその一般化がCiche [Chi]により得られている。

• bicategorical Theorem A and B

Object の集合も位相を持つような topological category (位相空間の category での internal category) に対して は, Libman [Lib11] が Theorem A を証明している。

• topological Theorem A

Topological combinatoricsでは, posetに限定したより単純な形がよく使われる。 Poset fiber theorem と呼ばれることが多いようである。AndersonとDavisの [AD02]では, Babson’s Criterionとして述べられている。 Appendixには, その証明もある。

• poset fiber theorem
• Babson’s criterion

また, 様々なvariationも考えられている。KallipolitiとKubitzke の [KK]やFernandezとMinianの[FM]など。Barmakによる simple homotopy版 [Bar11]も ある。Barmakのものは“poset fiber theorem”の 簡単な別証にもなっている。

References

[AD02]

Laura Anderson and James F. Davis. “Mod 2 cohomology of combinatorial Grassmannians”. In: Selecta Math. (N.S.) 8.2 (2002), pp. 161–200. arXiv: math/9911158. url: http://dx.doi.org/10.1007/s00029-002-8104-4.

[Bar11]

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[BKa]

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[BKb]

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