QuillenのTheorem AとB

小圏の分類空間を調べるときに最も有用な道具が, Quillen が [Qui73] で証明した Theorem A と B である。

• Quillen の Theorem A, つまりfunctor \[ f : C \longrightarrow D \] と \(D\) の object \(y\) に対し, \(y\downarrow f\) を \(v : y \to f(x)\)である組 \((x,v)\) の成す圏, つまり comma category とする。もし, \(D\) の各 object \(y\)に対し \(B(y\downarrow f)\) が可縮ならば, \(Bf\) はホモトピー同値である。
• QuillenのTheorem B, つまり functor \[ f : C \longrightarrow D \] に対し, 任意の \(D\) の morphism \(v : y \to y'\) が誘導する morphism \[ v^* : y'\downarrow f \longrightarrow y\downarrow f \] が分類空間のホモトピー同値を与えるなら \[ B(y\downarrow f) \longrightarrow BC \rarrow {Bf} BD \] は quasifibration である。

上の Theorem B の条件はあまり良いものではない。関手 \[ f : C \longrightarrow D \] の \(y \in D_{0}\) 上の fiber と呼ぶべきものは \(f(x)=y\) である object \(x \in C_{0}\) と \(f(u) = 1_y\) であるmorphism \(u\) から成る \(C\) の subcategory \(f^{-1}(y)\) である。\(f^{-1}(y)\) と \(y\downarrow f\) の関係を述べるために, Quillenは [Qui73] で Grothendieck の導入した (pre)fibered category という概念を用いている。

• Functor \[ f : C \longrightarrow D \] が prefibered であるとする。もし, \(D\) の任意の morphism \(v : y \to y'\) に対し base-change functor \[ v^* : f^{-1}(y') \longrightarrow f^{-1}(y) \] が分類空間の間の弱ホモトピー同値を誘導するなら \[ Bf : BC \longrightarrow BD \] は quasifibration である。

Quillen による Theorem B の証明は, quasifibration に関する Dold-Thom criterion に帰着させるものである。Jardine は [Jar89] で simplicial set (と bisimplicial set) の モデル圏で議論することにより, quasifibration を用いずに証明している。Simplicial category への一般化については, Rognes のホームページ から download できる Waldhausen と Jahren と Rognes に よる preprint “The stable parametrized \(h\)-cobordism theorem” を見るとよい。元々は Waldhausen [Wal82] によるようであるが。他には, Evrard [Evr75] による strong homotopy を用いた証明もある。

Theorem B の条件を弱めたものとして, Dwyer と Kan と Smith の [DKS89] がある。Barwick と Kan の [BKa; BKb] も見るとよい。

• Theorem \(\mathrm {B}_n\)

Dotto [Dot] は Barwick-Kan の Theorem \(\mathrm {B}_2\) のより一般の図式への拡張を得ている。小圏 \(I\) で index された図式 \(I\to \category {Cat}\) に対するものを Theorem \(\mathrm {B}^{I}\) と呼んでいる。また [Dot16] では, equivariant 版も示している。

• Theorem \(\mathrm {B}^{I}\)
• equivariant Theorem B

Equivariant 版としては, Bergner らの [Ber+] の Appendix A に書かれているものがある。 より古くは, Thévenaz と Webb [TW91] による, 群作用を持つ poset に対する Theorem A がある。

例によって, Lurie の本 [Lur09] に quasicategory 版が書いてある。Joyal の定理として Theorem 4.1.3.1 として書かれている。Theorem A の拡張である。

• quasicategory の Theorem A

\((\infty ,1)\)-category に対する Theorem \(\mathrm {B}_n\) などの一般化については, Mazel-Gee の [Maz] にある。

Enriched category で考えようというのが, Meyer の [Mey86] である。

特に small category の category で enrich された場合, つまり, \(2\)-category への一般化は Cegarra の [Ceg11] で考えられている。また, bicategory 版が Calvo と Cegarra と Heredia [CCH14] や del Hoyo [Hoy12] により得られている。 またその一般化が Ciche [Chi15] により得られている。

• bicategorical Theorem A and B

\((\infty ,2)\)-category 版は, Abellán Garcia と Stern の [AS22] で考えられている。

Object の集合も位相を持つような topological category (位相空間の category での internal category) に対しては, Libman [Lib11] や David Roberts [Rob] が Theorem A を証明している。

• topological Theorem A

Topological combinatorics では, poset に限定したより単純な形がよく使われる。 Poset fiber theorem と呼ばれることが多いようである。Anderson と Davis の [AD02] では, Babson’s Criterion として述べられている。 Appendix には, その証明もある。

• poset fiber theorem
• Babson’s criterion

また, 様々な variation も考えられている。Kallipoliti と Kubitzke の [KK13] や Fernandez と Minian の [FM16] など。 Barmak による simple homotopy 版 [Bar11] もある。Barmak のものは “poset fiber theorem” の簡単な別証にもなっている。

References

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