L2 不変量

Atiyah は, [Ati76] で \(L^2\)-Betti 数という概念を導入した。 有限群を調べるときには group ring が有用であるが, 無限群の場合には適当な completion をする方がよい。無限次元のベクトル空間を扱う際には, 有限次元のベクトル空間の時のように代数的な議論だけでは不十分で, 位相も含めて考えなければならないのと同じである。

群 \(G\) が作用している空間 \(X\) の singular chain complex には \(G\) の group ring が作用するが, その作用を用いて係数を group von Neumann algebra \(\mathcal {N}(G)\) に拡張した (co)homology を考えることができる。重要なことは, \(\mathcal {N}(G)\)-module に対しては, von Neumann dimension という \([0,\infty ]\) に値を持つ“次元”が定義できる [Lüc] ことである。

以上が, \(L^2\)-Betti 数の定義のアイデアであるが, 他にも \(L^2\)-torsion などの “\(L^2\) 不変量”がある。

\(L^2\) 不変量全般については, Lück の解説 [Lüc09] を見るのがよい。基本的なところから詳しく書いてある。Lück は, [Lüc02] という本も書いている。

• (離散)群 \(G\) に対しその group von Neumann algebra \(\mathcal {N}(G)\)
• von Neumann dimension
• \(L^2\)-(co)homology
• \(L^2\)-Betti数
• center-valued Betti数 [Kne]
• \(L^2\)-Euler標数
• \(L^2\)-torsion
• Novikov-Shubin number [NS86]
• delocalized \(L^2\)不変量[Lot99]
• von Neumann \(\rho \)-invariant [CG85]

特に, 空間 \(X\) の universal cover \(\widetilde {X}\) には \(\pi _1(X)\) が作用するが, その \(L^2\)-(co)homology や \(L^2\)-Betti 数を \(X\) の \(L^2\)-(co)homology や \(L^2\)-Betti 数と言ったりする。それについては, Lück の有限次元の類似による近似 [Lüc94] という方法がある。 つまり極限で表すわけであるが, その係数を正標数の体にした類似を, Linnell と Lück と Sauer が [LLS11] で考えている。

また群 \(G\) の universal bundle の total space \(EG\) への作用の場合を \(G\) の \(L^2\)-(co)homology や \(L^2\)-Betti 数と言ったりする。Lück の発見 [Lüc; Lüc09] は, この場合には, \(L^2\)-homology がホモロジー代数的に, つまり \(G\) の group von Neumann algebra \(N(G)\) 上 の\(\mathrm {Tor}\) を用いて記述できることである。更に, Connes と Shlyakhtenko [CS05] は, finite tracial von Neumann algebra に対して, Hochschhild homology の類似で, その \(L^2\)-homology を定義することを提案している。

拡張として, まず群を groupoid にするのが最も自然なものだろう。これについては Sauer が [Sau05] で Lück の方法を discrete measured groupoid に拡張することができることを示している。 更に, Fiore と Lück と共に [FLS11] で small category に一般化している。

• discrete measured groupoid
• discrete measured groupoid の von Neumann algebra
• discrete measured groupoid の \(L^2\)-Euler 標数
• small category の \(L^2\)-Euler 標数

Sauer と Thom は, [ST10] で discrete measured groupoid の extension に対し,Serre spectral sequence (Hochschild-Serre spectral sequence) の類似を構成している。もちろん, そのためには discrete measured groupoid の extesion という概念を正確に定義する必要がある。

• discrete measured groupoid の strong extension

他にも様々な拡張が試みられている。

• self-similar CW複体 (Cipriani と Guido と Isola の [CGI])
• quantum group への拡張 (Kyed の [Kyeb; Kyea])

無限離散群の \(0\) 次 \(L^2\)-Betti 数が \(0\) であるというのは, Cheeger と Gromov の結果 [CG86] であるが, それを compact quantum group に拡張したのは, Kyed の [Kyec] である。

離散群の \(L^2\)-Betti 数を決定したものとして, 例えば Dicks と Linnell の [DL] がある。複素 hyperplane arrangement の complement の場合を考えたのが, Davis と Januskiewicz と Leary の [DJL07] である。その類似として, Friedl と Leidy と Maxim は [FLM09] で \(\bbC ^2\) 内の algebraic curve の complement の \(L^2\)-Betti 数を調べている。

また, Dymara [Dym06; Dav+07] が Coxeter system に対して定義した weighted \(L^2\)-Betti 数というのもある。

Lück [Lüc94] は residually finite group, つまり指数有限の部分群による descreasing filtration で limit が自明になるものを持つような群に対し, 通常の (\(\Q \) 係数) Betti 数の極限による \(L^2\)-Betti 数の表示を得た。 その表示を用い, 一般の体 \(k\) を係数とするホモロジーを用いて不変量を定義できる。それを提案したのは Farber [Far98a] である。 Grabowski と Schick の [GS] では \(k\)-homology gradient と呼ばれている。

• homology gradient

この homology gradient という用語は Lackenby [Lac09] によるものらしい。 Abért と Nikolov [AN] や Linnell, Lück, Sauer [LLS11] などにより調べられている。

\(L^2\)-Betti 数がどのような値を取り得るか, 例えば無理数になるかというのは自然な疑問である。 有理数しか取り得ないだろうというのがAtiyah予想であるが, 反例が見付かっている。

• \(L^2\)-Betti 数に関する Atiyah 予想

Farber は [Far96] で, ある Abelian category に値を持つ (co)homology theory として extended \(L^2\)-(co)homology というものを定義した。\(L^2\)-(co)homology と Novikov-Shubin number を統 一する “unique (co)homology theory” らしい。その枠組みを拡張し, [Far98b] では von Neumann category という概念を定義している。Ghez と Lima と Roberts [GLR85] の \(W^*\)-category と同等な概念のようである。

• extended \(L^2\)-(co)homology
• von Neumann category

\(L^2\)不変量は, もちろん様々な幾何学的応用がある。多様体の minimal volume との関係については, Sauer の [Sau09] の Introduction を見るとよい。 Atiyah の \(L^2\)-index theorem については, Chatterji と Mislin の [CM] に別証がある。

• \(L^2\)-index theorem

References

[AN]

Miklos Abert and Nikolay Nikolov. Rank gradient, cost of groups and the rank versus Heegaard genus problem. arXiv: math/0701361.

[Ati76]

M. F. Atiyah. “Elliptic operators, discrete groups and von Neumann algebras”. In: Colloque “Analyse et Topologie” en l’Honneur de Henri Cartan (Orsay, 1974). Paris: Soc. Math. France, 1976, 43–72. Astérisque, No. 32–33.

[CG85]

Jeff Cheeger and Mikhael Gromov. “Bounds on the von Neumann dimension of \(L^2\)-cohomology and the Gauss-Bonnet theorem for open manifolds”. In: J. Differential Geom. 21.1 (1985), pp. 1–34. url: http://projecteuclid.org/euclid.jdg/1214439461.

[CG86]

Jeff Cheeger and Mikhael Gromov. “\(L_2\)-cohomology and group cohomology”. In: Topology 25.2 (1986), pp. 189–215. url: http://dx.doi.org/10.1016/0040-9383(86)90039-X.

[CGI]

Fabio Cipriani, Daniele Guido, and Tommaso Isola. A \(C^*\)-algebra of geometric operators on self-similar CW-complexes. Novikov-Shubin and \(L^2\)-Betti numbers. arXiv: math/0607603.

[CM]

Indira Chatterji and Guido Mislin. Atiyah’s \(L^2\)-Index theorem. arXiv: 1004.1350.

[CS05]

Alain Connes and Dimitri Shlyakhtenko. “\(L^2\)-homology for von Neumann algebras”. In: J. Reine Angew. Math. 586 (2005), pp. 125–168. arXiv: math/0309343. url: http://dx.doi.org/10.1515/crll.2005.2005.586.125.

[Dav+07]

Michael W. Davis, Jan Dymara, Tadeusz Januszkiewicz, and Boris Okun. “Weighted \(L^2\)-cohomology of Coxeter groups”. In: Geom. Topol. 11 (2007), pp. 47–138. arXiv: math/0402377. url: http://dx.doi.org/10.2140/gt.2007.11.47.

[DJL07]

M. W. Davis, T. Januszkiewicz, and I. J. Leary. “The \(l^2\)-cohomology of hyperplane complements”. In: Groups Geom. Dyn. 1.3 (2007), pp. 301–309. arXiv: math / 0612404. url: http://dx.doi.org/10.4171/GGD/14.

[DL]

Warren Dicks and Peter A. Linnell. \(L^2\)-Betti numbers of one-relator groups. arXiv: math/0508370.

[Dym06]

Jan Dymara. “Thin buildings”. In: Geom. Topol. 10 (2006), pp. 667–694. arXiv: math/0601005. url: http://dx.doi.org/10.2140/gt.2006.10.667.

[Far96]

M. S. Farber. “Homological algebra of Novikov-Shubin invariants and Morse inequalities”. In: Geom. Funct. Anal. 6.4 (1996), pp. 628–665. arXiv: dg-ga/9606013. url: http://dx.doi.org/10.1007/BF02247115.

[Far98a]

Michael Farber. “Geometry of growth: approximation theorems for \(L^2\) invariants”. In: Math. Ann. 311.2 (1998), pp. 335–375. arXiv: dg- ga/9703014. url: http://dx.doi.org/10.1007/s002080050190.

[Far98b]

Michael Farber. “von Neumann categories and extended \(L^2\)-cohomology”. In: \(K\)-Theory 15.4 (1998), pp. 347–405. arXiv: dg-ga/9610016. url: http://dx.doi.org/10.1023/A:1007778529430.

[FLM09]

Stefan Friedl, Constance Leidy, and Laurentiu Maxim. “\(L^2\)-Betti numbers of plane algebraic curves”. In: Michigan Math. J. 58.2 (2009), pp. 411–421. arXiv: 0704.3388. url: http://dx.doi.org/10.1307/mmj/1250169069.

[FLS11]

Thomas M. Fiore, Wolfgang Lück, and Roman Sauer. “Finiteness obstructions and Euler characteristics of categories”. In: Adv. Math. 226.3 (2011), pp. 2371–2469. arXiv: 0908 . 3417. url: http://dx.doi.org/10.1016/j.aim.2010.09.013.

[GLR85]

P. Ghez, R. Lima, and J. E. Roberts. “\(W^\ast \)-categories”. In: Pacific J. Math. 120.1 (1985), pp. 79–109. url: http://projecteuclid.org/euclid.pjm/1102703884.

[GS]

Łukasz Grabowski and Thomas Schick. On computing homology gradients over finite fields. arXiv: 1410.1693.

[Kne]

Anselm Knebusch. Approximation of center-valued Betti-numbers. arXiv: 0804.0530.

[Kyea]

David Kyed. \(L^2\)-Betti numbers of coamenable quantum groups. arXiv: 0704.1582.

[Kyeb]

David Kyed. \(L^2\)-homology for compact quantum groups. arXiv: math/ 0605240.

[Kyec]

David Kyed. On the zeroth \(L^2\)-homology of a quantum group. arXiv: 0906.0656.

[Lac09]

Marc Lackenby. “Large groups, property \((\tau )\) and the homology growth of subgroups”. In: Math. Proc. Cambridge Philos. Soc. 146.3 (2009), pp. 625–648. arXiv: math / 0509036. url: http://dx.doi.org/10.1017/S0305004108002089.

[LLS11]

Peter Linnell, Wolfgang Lück, and Roman Sauer. “The limit of \(\F _{p}\)-Betti numbers of a tower of finite covers with amenable fundamental groups”. In: Proc. Amer. Math. Soc. 139.2 (2011), pp. 421–434. arXiv: 1003.0434. url: http://dx.doi.org/10.1090/S0002-9939-2010-10689-5.

[Lot99]

John Lott. “Delocalized \(L^2\)-invariants”. In: J. Funct. Anal. 169.1 (1999), pp. 1–31. url: http://dx.doi.org/10.1006/jfan.1999.3451.

[Lüc]

Wolfgang Lück. Dimension theory of arbitrary modules over finite von Neumann algebras and applications to \(L^2\)-Betti numbers. arXiv: dg-ga/9707011.

[Lüc02]

Wolfgang Lück. \(L^2\)-invariants: theory and applications to geometry and \(K\)-theory. Vol. 44. Ergebnisse der Mathematik und ihrer Grenzgebiete. 3. Folge. A Series of Modern Surveys in Mathematics [Results in Mathematics and Related Areas. 3rd Series. A Series of Modern Surveys in Mathematics]. Berlin: Springer-Verlag, 2002, pp. xvi+595. isbn: 3-540-43566-2.

[Lüc09]

Wolfgang Lück. “\(L^2\)-invariants from the algebraic point of view”. In: Geometric and cohomological methods in group theory. Vol. 358. London Math. Soc. Lecture Note Ser. Cambridge: Cambridge Univ. Press, 2009, pp. 63–161. arXiv: math/0310489.

[Lüc94]

W. Lück. “Approximating \(L^2\)-invariants by their finite-dimensional analogues”. In: Geom. Funct. Anal. 4.4 (1994), pp. 455–481. url: http://dx.doi.org/10.1007/BF01896404.

[NS86]

S. P. Novikov and M. A. Shubin. “Morse inequalities and von Neumann \(\mathrm {II}_{1}\)-factors”. In: Dokl. Akad. Nauk SSSR 289.2 (1986), pp. 289–292.

[Sau05]

Roman Sauer. “\(L^{2}\)-Betti numbers of discrete measured groupoids”. In: Internat. J. Algebra Comput. 15.5-6 (2005), pp. 1169–1188. arXiv: math/0312411. url: http://dx.doi.org/10.1142/S0218196705002748.

[Sau09]

Roman Sauer. “Amenable covers, volume and \(L^{2}\)-Betti numbers of aspherical manifolds”. In: J. Reine Angew. Math. 636 (2009), pp. 47–92. arXiv: math/0605627. url: http://dx.doi.org/10.1515/CRELLE.2009.082.

[ST10]

Roman Sauer and Andreas Thom. “A spectral sequence to compute \(L^{2}\)-Betti numbers of groups and groupoids”. In: J. Lond. Math. Soc. (2) 81.3 (2010), pp. 747–773. arXiv: 0707 . 0906. url: http://dx.doi.org/10.1112/jlms/jdq017.