L2-Betti 数に関する Atiyah 予想

Atiyah は, その \(L^2\)-Betti 数を導入した論文 [Ati76] で, \(L^2\)-Betti 数が有理数以外の値を取り得るか, という問題を提起している。Atiyah の考えたのは, Riemann 多様体の universal cover を用いた \(L^2\)-Betti 数であるが, 現在では group von Neumann algebra の言葉に翻訳されている。よってこの Atiyah の問題も離散群の group von Neumann algebra に関する問題と考えることができる。

Grigorchuk と Linnell と Schick と Zuk の [Gri+00] では, より強く, 離散群 \(G\) の位数有限の元の位数を invert した \(\Q \) の部分環に値を持つかという strong Atiyah conjecture が考えられている。

• strong Atiyah conjecture

Grigorchuk らは, strong Atiyah conjecture に対する反例を構成している。 もちろん, 成り立つ場合も数多く知られているし, strong Atiyah conjecture が成り立つ群の class がどのような操作で閉じているかも色々調べられている。 例えば, Linnell と Okun と Schick [LOS] は, right-angled Artin group と right-angled Coxeter group に対して strong Atiyah conjecture が成り立つことを示している。Wegner の [Weg] は subgroup や quotient を取る操作に関して閉じているのはどのような場合かを考えたものである。

どうやら一般の Atiyah 予想についても, Austin [Aus13] により反例が構成されたようである。Pichot と Schick と Zuk [PSZ] は Austin の方法を精密化し, 与えられた実数列に対しそれをある covering に関する \(L^2\) 数として持つ compact manifold を構成する方法を考えている。同様の結果は, 独立に Grabowski [Grab] によっても得られているようである。

Lehner と Wagner による lamplighter group による反例 [LW] もある。 Lamplighter group というのは, wreath product \(\Z /m\Z \wr G\) の形の群のことをいうらしい。彼等は特に \(G\) が自由群の場合を考えている。

Grabowski [Graa] は, lamplighter group \(\Z /p\Z \wr \Z \) を含む群は \(L^2\)-Betti 数に超越数を含むことを示している。そして, その逆が成り立つか, というのを問題として提示している。

Okun と Scott [OS] は, right-angled Coxeter group の group von Neumann algebra ではなく Hecke von Neumann algebra に対する strong Atiyah conjecture の類似を考えている。

Grabowski と Schick [GS] は homology gradient に対する類似を考えている。

References

[Ati76]

M. F. Atiyah. “Elliptic operators, discrete groups and von Neumann algebras”. In: Colloque “Analyse et Topologie” en l’Honneur de Henri Cartan (Orsay, 1974). Paris: Soc. Math. France, 1976, 43–72. Astérisque, No. 32–33.

[Aus13]

Tim Austin. “Rational group ring elements with kernels having irrational dimension”. In: Proc. Lond. Math. Soc. (3) 107.6 (2013), pp. 1424–1448. arXiv: 0909.2360. url: http://dx.doi.org/10.1112/plms/pdt029.

[Graa]

Łukasz Grabowski. Irrational \(\ell ^2\)-invariants arising from the lamplighter group. arXiv: 1009.0229.

[Grab]

Łukasz Grabowski. On Turing dynamical systems and the Atiyah problem. arXiv: 1004.2030.

[Gri+00]

Rostislav I. Grigorchuk, Peter Linnell, Thomas Schick, and Andrzej Żuk. “On a question of Atiyah”. In: C. R. Acad. Sci. Paris Sér. I Math. 331.9 (2000), pp. 663–668. arXiv: math/0009175. url: http://dx.doi.org/10.1016/S0764-4442(00)01702-X.

[GS]

Łukasz Grabowski and Thomas Schick. On computing homology gradients over finite fields. arXiv: 1410.1693.

[LOS]

Peter Linnell, Boris Okun, and Thomas Schick. The strong Atiyah conjecture for right-angled Artin and Coxeter groups. arXiv: 1010.0606.

[LW]

Franz Lehner and Stephan Wagner. Free Lamplighter Groups and a Question of Atiyah. arXiv: 1005.2347.

[OS]

Boris Okun and Richard Scott. The Atiyah conjecture for the Hecke algebra of the infinite dihedral group. arXiv: 1202.6285.

[PSZ]

Mikaël Pichot, Thomas Schick, and Andrzej Zuk. Closed manifolds with transcendental L2-Betti numbers. arXiv: 1005.1147.

[Weg]

Christian Wegner. On the behaviour of the Atiyah Conjecture under taking subgroups and under taking quotients with finite kernel. arXiv: 0810.1365.