このページでいう \(2\)-group は, 位数 \(2\)巾の有限群, という意味ではなく, 群の概念の高次化である。 文献としては, まずは Baez と
Lauda の [BL04] を挙げるべきだろうか。
群は object \(1\) つの small category で全ての morphism が可逆なものとみなすことができるので,
高次の圏を用いて高次化が考えられるわけである。 定義は, 以下の同値な条件のどれかで与えられる:
- 群の圏の internal category, つまり category object
- small category の圏の group object
- object \(1\) つの small strict \(2\)-category で全ての \(1\)-morphism と \(2\)-morphism が invertible
なもの
- strict monoidal category で全ての object が invertible であり, underlying category
が groupoid であるもの
下2つの定義をみると, strict という条件を外す方が「正しい」定義のように思える。 実際, そのようなものを categorical group
と呼んで区別することもある。例えば, Joyal と Street の [JS93] など。 しかしながら, Schommer-Pries [Sch11] や
Chatterjee ら [CLS15] のように, 最初のものを categorical group と呼んでいる人もいる。
Schommer-Pries は, monoidal category \((M,\otimes ,1)\) で \[ (\mathrm {pr}_{1}\times \otimes ) : M\times M \rarrow {} M\times M \] が圏同値になるものを \(2\)-group と呼んでいる。
より一般に, 直積を持つ bicategory での \(2\)-group も定義できる。Baez と Lauda の [BL04] や
Schommer-Pries の [Sch11] など。
\(2\)-group の概念もかなり一般的になってきた。やはり topological quantum field theory からの motivation
が大きい。 \(n\)-Category Café でも話題になっている。
ホモトピー論からは, crossed module が重要な例の供給源である.表現論からの motivation については, Zhu の
[Zhu] を見るとよい。対称群の 2-group 版については, Elugueta の [Elg14] にある。
実は, crossed module と \(2\)-group はほとんど同じ概念である。 これについては, Porst の [Por]
に詳しく書かれている。
- strict \(2\)-group の成す \(2\)-category と crossed module の成す \(2\)-category は \(2\)-equivalent
である。
\(2\)-group に限って, 従来の群論とどこまで平行な議論ができるかを考える, というのは自然な問題である。 Pfeiffer は,
[Pfe07] で group ring の類似を考えている。またBaez らは, loop group との関係について [Bae+07]
で考察している. Loop group との関連としては, Ganter の [Gan]で考えている \(2\)-group の extension
もある。
\(2\)-group の secondary vector space を用いた表現を調べたものとして, Rumynin と Wendlandの
[RW18] がある。
表現論的には, 以下のようなことも考えられている。
Pfeiffer によると,\(2\)-group の group ring として考えるべきものは, trialgebra である。
群といえば変換群であるが, Zhu の [Zhu] では, Abelian category の変換群としての \(2\)-group が調べられている。
Chatterjee ら [CLS15] は \(2\)-group の small category への作用を考え, categorical principal
bundle の概念を考えている。
群の拡大も一般化されている。Abel群による群の拡大は, braided \(2\)-group による拡大に一般化されている。Drinfel\('\)d,
Gelaki, Nikshych, Ostrik の [Dri+10] や Jenkins の [Jen] など。
Baez の この \(n\)-Category Café の post は, braided \(2\)-group に関するものである。
Baez は, この \(n\)-Category Café の post では, small category の automorphism のなす \(2\)-group,
特に \(n\)個の元を持つ集合を対象とし, 全単射を morphism にする groupoid の automorphism \(2\)-group
について考察している。
- small category の automorphism \(2\)-group
2つの \(2\)-group の間の weak map の成す groupoid について調べているのは, Noohi の [Noo] である。 その
motivation の一つは, \(2\)-groupの \(2\)-category の object への (weak) 作用を考えるためである。 中でも, stack
への作用を主に考えているようである。
Noohi は, Aldrovandi と共に, より一般の \(n\)-group の成す \(n\)-category での weak map
を考えているようである.その最初, \(2\)-group の場合が [AN09] である。
Baez と Stevenson [BS09] は topological \(2\)-group を構造群に持つ \(2\)-bundle の分類定理を考えている。
Lie \(2\)-group については, Lie \(2\)-algebra との関係が考えられている。
Corey Jones [Jon] は, \(C^{*}\)-algebra の anomalous symmetry を考えるために, 群 \(G\) の \(U(1)\) に値を持つ
\(3\)-cocycle \(\omega \in Z^{3}(G;U(1))\) から, \(2\)-group \(2\mathrm {-Gr}(G,U(1),\omega )\) を定義している。また \(C^{*}\)-algebra \(B\) の \(*\)-automorphism 全体も \(2\)-group
として考えることを提案している。
前者は, \(3\)-cocycle を用いた \(2\)-group の特徴付けによる。Corey Jones は, Baez と Shulman の [BS10]
を参照している。そこでは, Postnikov 不変量と呼ばれているが。
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