Automorphism Groups

同型の概念を考える正しい場は, 圏である。 写像と合成と恒等写像の類似があれば定義できるからである。 よって任意の圏 \(\bm {C}\) の object \(X\) に対し, \(X\) の \(\bm {C}\) での自己同型の成す群 \(\mathrm {Aut}_{\bm {C}}(X)\), つまり automorphism group が定義される。

逆に, 与えられた群がある圏のある object の automorphism group として表されるか, というのも自然な疑問である。 実際, 様々人によって考えられている。 例えば, Galois 群として定義できるか, というのが, 有名な inverse Galois problem である。

• Galois 群
• inverse Galois problem

一般に, どんな群も圏 \(\bm {C}\) のある object の automorphism group と同型になるとき, \(\bm {C}\) は universal category である, というらしい。

• universal category

群の圏では, 特別な automorphism として innner automorphism があるが, Parker [Par23] によると, その 圏論的特徴付けが, Schupp [Sch87] と Bergman [Ber12] により得られている。 Parker は, 群の圏に値を持つ presheaf の圏の場合を調べている。

群の一般化として, quantum group があるが, graph などの組み合せ論的構造の quantum automorphism group も考えられている。

• quantum automorphism group

References

[Ber12]

George M. Bergman. “An inner automorphism is only an inner automorphism, but an inner endomorphism can be something strange”. In: Publ. Mat. 56.1 (2012), pp. 91–126. arXiv: 1001.1391. url: http://dx.doi.org/10.5565/PUBLMAT_56112_04.

[Par23]

Jason Parker. “Inner automorphisms of presheaves of groups”. In: Appl. Categ. Structures 31.2 (2023), Paper No. 20, 41. arXiv: 2107.13989. url: https://doi.org/10.1007/s10485-023-09720-5.

[Sch87]

Paul E. Schupp. “A characterization of inner automorphisms”. In: Proc. Amer. Math. Soc. 101.2 (1987), pp. 226–228. url: https://doi.org/10.2307/2045986.