Winding number

Winding number は, 連続写像 \[ f : S^1 \longrightarrow \R ^2\setminus \{p\} \] に対し定義される整数である。Rotation number という人もいる。 日本語では回転数だろうか。

様々な解釈があるので, 代数的トポロジーで最初に扱う題材として面白いかもしれない。実際 Fulton の本 [Ful95] では詳しく扱ってある。

• \(S^1 \to \R ^2\setminus \{p\} \to S^1\) の写像度
• \(p\) から引いた半直線と \(f\) との intersection number
• \(S^1 \to \R ^2\setminus \{p\} \hookrightarrow S^2\) と \(S^0=\{p,\infty \}\) の linking number
• \(f\) が smooth な場合の積分による記述

Linking number と考えると, homology を用いて一般化を考えることができる。実際, Chernov と Rudyak による試み [CR] がある。

平面上の regular closed curve の regular homotopy 類が回転数で決まると言う事実を, contact geometry を使って証明している人 [Gei09] もいる。

References

[CR]

Vladimir Chernov and Yuli B. Rudyak. On generalized winding numbers. arXiv: math/0301117.

[Ful95]

William Fulton. Algebraic topology. Vol. 153. Graduate Texts in Mathematics. New York: Springer-Verlag, 1995, p. xviii 430. isbn: 0-387-94326-9; 0-387-94327-7.

[Gei09]

Hansjörg Geiges. “A contact geometric proof of the Whitney-Graustein theorem”. In: Enseign. Math. (2) 55.1-2 (2009), pp. 93–102. arXiv: 0801.0046.