Folkman-Lawrence Topological Representation Theorem

Oriented matroid の例として, hyperplane arrangement や pseudosphere arrangement からできるものがあるが, 逆に, 与えられた oriented matroid がそのような幾何学的なもので表現できるか, という問題が考えられる。それに対する肯定的な解答が, Folkman と Lawrence [FL78] の topological representation theorem である。

• 任意の oriented matroid は, pseudo-hemisphere arrangement と同値になる。

5人組の oriented matroid の本 [Bjö+99] では, pseudosphere arrangement が用いられているが, 原論文では, pseudo-hemisphere arrangement が使われている。

Folkman と Lawrence の結果を oriented ではない matroid に拡張しようというのが, Swartz の [Swa03] であり, pseudosphere の代わりに homotopy sphere を使っている。 L. Anderson による homotopy representation theorem [And12] もある。Anderson は, oriented matroid の場合も考え, Folkman と Lawrence の topological representation との関係も調べている。ただ, Anderson による構成は explicit ではない。Engström [Eng] は, 空間 の diagram に対する homotopy colimit による新しい構成を与えていて, また球面の中の codimension \(1\) の球面だけでない, ずっと一般的な構成になっている。

• matroid の homotopy sphere arrangement による表示
• oriented matorid の homotopy sphere arrangement による表示

Folkman と Lawrence の topological representation theorem を funcotrial にできる, というのが L. Anderson の [And01] である。 Anderson の結果の unoriented version を考えているのが, Stamps の [Sta13] である。

References

[And01]

Laura Anderson. “Representing weak maps of oriented matroids”. In: European J. Combin. 22.5 (2001). Combinatorial geometries (Luminy, 1999), pp. 579–586. url: http://dx.doi.org/10.1006/eujc.1999.0480.

[And12]

Laura Anderson. “Homotopy sphere representations for matroids”. In: Ann. Comb. 16.2 (2012), pp. 189–202. arXiv: 0903.2773. url: http://dx.doi.org/10.1007/s00026-012-0125-x.

[Bjö+99]

Anders Björner, Michel Las Vergnas, Bernd Sturmfels, Neil White, and Günter M. Ziegler. Oriented matroids. Second. Vol. 46. Encyclopedia of Mathematics and its Applications. Cambridge: Cambridge University Press, 1999, pp. xii+548. isbn: 0-521-77750-X. url: http://dx.doi.org/10.1017/CBO9780511586507.

[Eng]

Alexander Engström. Topological representation of matroids from diagrams of spaces. arXiv: 1002.3441.

[FL78]

Jon Folkman and Jim Lawrence. “Oriented matroids”. In: J. Combin. Theory Ser. B 25.2 (1978), pp. 199–236. url: http://dx.doi.org/10.1016/0095-8956(78)90039-4.

[Sta13]

Matthew T. Stamps. “Topological representations of matroid maps”. In: J. Algebraic Combin. 37.2 (2013), pp. 265–287. arXiv: 1104.4152. url: http://dx.doi.org/10.1007/s10801-012-0366-0.

[Swa03]

E. Swartz. “Topological representations of matroids”. In: J. Amer. Math. Soc. 16.2 (2003), pp. 427–442. arXiv: math/0208157. url: http://dx.doi.org/10.1090/S0894-0347-02-00413-7.