非安定ホモトピー論におけるchromatic現象

安定ホモトピー論においては, \(\mathrm{BP}\)理論等を用いてホモトピー論的情報を \(v_n\)周期的な情報に分割して調べることが有 効であることがわかっている。

非安定ホモトピー論においては, \(v_0\)周期的な情報は 有理ホモトピー論として代数的に扱うことが できることが分っている。\(v_1\)周期的ホモトピー群に ついては, D. Davisらによる計算があるが, 有理ホモトピー論のような「\(v_1\) 周期的ホモトピー論」と言えるべきものにはなっていない。

安定ホモトピー論 と比較すると, Hopkins らにより Ravenel の一連の予想 [Rav84] が解決される以前, いや Ravenel の予想の登場以前の段階と言えるだろう。 一般の \(v_n\) について, 安定ホモトピー論に近いような理論を構築するにはまだ時間が かかりそうである。

Kuhn (と Bousfield) の作った \(K(n)\)-localization を与える spectrum に値を持つ関手 [Kuh08] は, stable な情報を unstable な世界に持ち込むため の一つのヒントになるかもしれない。 実際, Kuhnは unstable \(v_n\)-periodic homotopy群を, この functor を用い て定義することを提案している。

BehrensとRezk [BRa] は, 有理ホモトピー論における Quillen や Sullivanの仕事の \(v_{n}\)版が, この Bousfield-Kuhn functor を用いて spectral algebra の世界で実現できる, と言っている。

  • Bousfield-Kuhn functor

Behrens と Rezkは [BRb]で, 空間 \(X\) の \(K(n)\)-local Bousfield-Kuhn functor から \(X\) の \(K(n)\)-local Spanier-Whitehead dual の topological André-Quillen cohomology への natural transformation を構成している。彼等は, 奇数次元球面の場合にこの写像が同 値であることを示しているが, これは, rational homotopy theory で minimal model の module of indecomposables の dual が有理ホモトピー群であることの類似らしい。

Eldred, Heuts, Methew, Meier [Eld+] は, この Bousfield-Kuhn functor を, \(v_{n}\)-periodic equivalence で localize した pointed space の \(\infty \)-category \(M_{n}^{f}\) から \(v_{n}\)-periodic な spectrum の \(\infty \)-category への functor とみなす ことにより, \(M_{n}^{f}\) をある monad 上の algebra と して表せると主張している。 彼等は, これは rational homotopy theory での Quillen の Lie model に対応しているといっている。

その Lie model に対応するものとしては, Heuts の [Heu] が出た。

一方, 非安定ホモトピー論では, Cohen-Moore-Neisendorferらによるexponentの 研究からも示唆されるように, \(v_n\)周期的情報だけでなく\(v_n\)-torsion を調べることも重要である。

References

[BRa]

Mark Behrens and Charles Rezk. Spectral algebra models of unstable \(v_n\)-periodic homotopy theory. arXiv: 1703.02186.

[BRb]

Mark Behrens and Charles Rezk. The Bousfield-Kuhn functor and Topological André-Quillen cohomology. arXiv: 1712.03045.

[Eld+]

Rosona Eldred, Gijs Heuts, Akhil Mathew, and Lennart Meier. Monadicity of the Bousfield-Kuhn functor. arXiv: 1707.05986.

[Heu]

Gijs Heuts. Lie algebras and \(v_n\)-periodic spaces. arXiv: 1803.06325.

[Kuh08]

Nicholas J. Kuhn. “A guide to telescopic functors”. In: Homology, Homotopy Appl. 10.3 (2008), pp. 291–319. arXiv: 0802.0510. url: http://projecteuclid.org/euclid.hha/1251832476.

[Rav84]

Douglas C. Ravenel. “Localization with respect to certain periodic homology theories”. In: Amer. J. Math. 106.2 (1984), pp. 351–414. url: http://dx.doi.org/10.2307/2374308.