Twin Groups and Related Topics

2025年1月8日の信州トポロジーセミナーでの伊藤昇さんの講演で, twin group という群があることを知った。Naik, Nanda, Singh の [NNS20] によると, Shabat と Voevodsky の [SV90] で最初に登場したようである。Voevodsky の preprint [Voe90] もあるが, ロシア語である。 Voevodsky は cartographical group と呼んでいる。

その後, Khovanov が [Kho96] で braid 群に類似の幾何学的解釈を与えた。Khovanov の doodle group の論文 [Kho97] にも登場するが, 恐らく Khovanov が twin group という名前で独立に定義し, その後 Voevodsky の cartographical group と同型であることに気がついたのだろう。

• twin group or cartographical group
• pure twin group
• doodle group

Bardakov らが [BSV19] でその構造を調べているが, そこでは virtual twin group や welded twin group も定義されている。

• virtual twin group
• welded twin group

どうやら cartographical group よりも twin group という名前の方が一般的になってしまったようである。

References

[BSV19]

Valeriy Bardakov, Mahender Singh, and Andrei Vesnin. “Structural aspects of twin and pure twin groups”. In: Geom. Dedicata 203 (2019), pp. 135–154. arXiv: 1811.04020. url: https://doi.org/10.1007/s10711-019-00429-1.

[Kho96]

Mikhail Khovanov. “Some remarks on Tabachnikov’s invariants of plane curves”. In: J. Knot Theory Ramifications 5.6 (1996), pp. 849–857. url: https://doi.org/10.1142/S021821659600045X.

[Kho97]

Mikhail Khovanov. “Doodle groups”. In: Trans. Amer. Math. Soc. 349.6 (1997), pp. 2297–2315. url: http://dx.doi.org/10.1090/S0002-9947-97-01706-6.

[NNS20]

Tushar K. Naik, Neha Nanda, and Mahender Singh. “Some remarks on twin groups”. In: J. Knot Theory Ramifications 29.10 (2020), pp. 2042006, 14. arXiv: 1912.01466. url: https://doi.org/10.1142/S0218216520420067.

[SV90]

G. B. Shabat and V. A. Voevodsky. “Drawing curves over number fields”. In: The Grothendieck Festschrift, Vol. III. Vol. 88. Progr. Math. Birkhäuser Boston, Boston, MA, 1990, pp. 199–227. url: https://doi.org/10.1007/978-0-8176-4576-2_8.

[Voe90]

V. A. Voevodsky. “Flags and Grothendieck Cartographical Group in Higher Dimensions”. In: CSTARCI Math. Preprints (1990). url: https://www.math.ias.edu/vladimir/node/85.