3次元多様体

\(3\)次元多様体は, 難しい。複雑なものは, 単純なものに分割して考えたい。

\(3\)次元多様体の場合, そのような分割として, \(1\)次元と\(2\)次元に分解する, というものがある。よく行なわれるのは, \(S^1\) 上の曲面を fiber とする fiber bundle になる場合である: \[ S \longrightarrow M \longrightarrow S^1 \] 例えば, 曲面 \(S\) の mapping class group の元 \(\phi \) があると, その mapping torus として \(S^{1}\) 上の \(S\) を fiber とする bundle ができる。 Nikolaev の [Nik] では, Hemion の [Hem79] や Thurston の [Thu82; Thu88] が挙げられている。

別の分解としては, Heegaard 分解がある。これは積ではなく和集合に分ける分解である。

  • Heegaard 分解

\(3\)次元多様体を, 「ギリギリの次元」に埋め込んだり嵌 め込んだりすることも考えられている。Skopenkov の [Sko] では\(3\)次元多様体の \(\R ^6\) への埋め込みが考えられている。

基本群も重要な不変量である。Boyer と Rolfsen と Wiest の [BRW05] では, \(3\)次元多様体の基本群の orderability について議論されている。Dimca と Suciu の [DS09] では, \(3\)次元閉多様体の基本群であり, compact Kähler 多様体の基本群でもあるものは, 有限群に限ることが示されている。

\(3\)次元 PL 多様体の分類を, 組み合せ論的に考えている人もいる。Casali と Cristofori の [CC08] の Introduction を読むとよい。

現在では, \(3\)次元多様体を考える時に Thurston の Geometrization Conjecture を抜きにして考えることはできない。Thurston の lecture note は ここから download できる。

  • Geometrization Conjecture

簡単に言えば, \(3\)次元の多様体は, 8種類の幾何学的構造を持つ部分に分解できるという主張であり, \(3\)次元の Poincaré 予想を含むものである。

Thurston の geometrization conjecture については, Perelman が Hamilton の Ricci flow という概念 [Ham95] を用いて解決したらしい。 結果は出版されず, arXiv から [Perc; Perb; Pera] として発表されているだけであるが。Perelman の発表の後, 様々な人がその内容を検証したり, 理解しようとしたりしてきた。結果, 2006 年の国際数学者会議で Fields Medal が Perelman に授与されることになったが, Perelman は辞退してしまった。その本当の理由は定かではないが, この “The New Yorker” の長い記事を読むと, Perelman という人物について少しは理解できるようになるだろう。個人的には, Perelman は辞退してよかったのではないかと思う。この記事に書いてある S.-T. Yau についてのことも, もし本当なら, 気になるところである。

  • Ricci flow

この Perelman の証明や Ricci flow については, 様々な人がその証明を検証した り, 解説を書いたりしているので, それらを見てみるとよい。Perelman の sketch した証明のアイデアは, Morgan と Tian の本 [MT07] で検証されたようである。

Math Overflow のこの質問に対する回答によると, 解説としては, Tao の blog での解説, Topping の本 [Top06], Bessières, Besson, Boileau, Maillot, Porti の5人組の本 [Bes+10] などがある。

その後も新しい approach を試みる人はいる。Pierre という人が Langlands program との関連を考えている [Pie] ようである。

\(3\)次元多様体のトポロジーと数論の類似性は, 何人かの人が指摘しているが, その研究は arithmetic topology と呼ばれているようである。

References

[Bes+10]

Laurent Bessières, Gérard Besson, Sylvain Maillot, Michel Boileau, and Joan Porti. Geometrisation of 3-manifolds. Vol. 13. EMS Tracts in Mathematics. European Mathematical Society (EMS), Zürich, 2010, pp. x+237. isbn: 978-3-03719-082-1. url: https://doi.org/10.4171/082.

[BRW05]

Steven Boyer, Dale Rolfsen, and Bert Wiest. “Orderable 3-manifold groups”. In: Ann. Inst. Fourier (Grenoble) 55.1 (2005), pp. 243–288. arXiv: math/0211110. url: http://aif.cedram.org/item?id=AIF_2005__55_1_243_0.

[CC08]

Maria Rita Casali and Paola Cristofori. “A catalogue of orientable 3-manifolds triangulated by 30 colored tetrahedra”. In: J. Knot Theory Ramifications 17.5 (2008), pp. 579–599. arXiv: math/0606359. url: http://dx.doi.org/10.1142/S0218216508006312.

[DS09]

Alexandru Dimca and Alexander I. Suciu. “Which 3-manifold groups are Kähler groups?” In: J. Eur. Math. Soc. (JEMS) 11.3 (2009), pp. 521–528. arXiv: 0709.4350. url: http://dx.doi.org/10.4171/JEMS/158.

[Ham95]

Richard S. Hamilton. “The formation of singularities in the Ricci flow”. In: Surveys in differential geometry, Vol. II (Cambridge, MA, 1993). Int. Press, Cambridge, MA, 1995, pp. 7–136.

[Hem79]

Geoffrey Hemion. “On the classification of homeomorphisms of \(2\)-manifolds and the classification of \(3\)-manifolds”. In: Acta Math. 142.1-2 (1979), pp. 123–155. url: https://doi.org/10.1007/BF02395059.

[MT07]

John Morgan and Gang Tian. Ricci flow and the Poincaré conjecture. Vol. 3. Clay Mathematics Monographs. Providence, RI: American Mathematical Society, 2007, pp. xlii+521. isbn: 978-0-8218-4328-4. arXiv: math/0607607.

[Nik]

Igor Nikolaev. AF-algebras and topology of 3-manifolds. arXiv: math/0110227.

[Pera]

Grisha Perelman. Finite extinction time for the solutions to the Ricci flow on certain three-manifolds. arXiv: math/0307245.

[Perb]

Grisha Perelman. Ricci flow with surgery on three-manifolds. arXiv: math/0303109.

[Perc]

Grisha Perelman. The entropy formula for the Ricci flow and its geometric applications. arXiv: math/0211159.

[Pie]

Christian Pierre. The Thurston’s program derived from the Langlands global program with singularities. arXiv: math/0612651.

[Sko]

A. Skopenkov. A classification of smooth embeddings of 3-manifolds in 6-space. arXiv: math/0603429.

[Thu82]

William P. Thurston. “Three-dimensional manifolds, Kleinian groups and hyperbolic geometry”. In: Bull. Amer. Math. Soc. (N.S.) 6.3 (1982), pp. 357–381. url: http://dx.doi.org/10.1090/S0273-0979-1982-15003-0.

[Thu88]

William P. Thurston. “On the geometry and dynamics of diffeomorphisms of surfaces”. In: Bull. Amer. Math. Soc. (N.S.) 19.2 (1988), pp. 417–431. url: http://dx.doi.org/10.1090/S0273-0979-1988-15685-6.

[Top06]

Peter Topping. Lectures on the Ricci flow. Vol. 325. London Mathematical Society Lecture Note Series. Cambridge University Press, Cambridge, 2006, pp. x+113. isbn: 978-0-521-68947-2; 0-521-68947-3. url: http://dx.doi.org/10.1017/CBO9780511721465.