対称積や類似の構成

位相空間\(X\)の\(n\)個の直積\(X^n\)には, 右から\(n\)次 対称群 \(\Sigma _n\) が作用する。その商空間 \(\mathrm{SP}^n(X) = X^n/\Sigma _n\) を\(n\)次対称積 (symmetric product) という。

対称積については, Blagojevic と Grujic と Zivaljevic の解説 [BGZ] がお勧めである。曲面の対称積を題材に対称積につい ての興味深い事実が解説されている。彼らは [BGŽ05] で対称積の arrangement についても考えている。

曲面の対称積については, Kallel と Salvatore が [KS] でより具体的に調べている。Bökstedt と Romao の [BR] によると, gauged vortex の moduli space に関係があるようで, Kallel と Salvatore の結果も使われている。

代数多様体については, Hibert schemeとの関係 が重要である。また Maxim と Schürmann [MS] が書いているように, orbifoldの例としても重要である。また, Lawson homologyの定義で使われる algebraic cycle の成す空間も対称積の一般化である。 実際, Farbと WolfsonとWood [FWW] は, 対称積を用いて, 代数多 様体とは限らない多様体の \(0\)-cycleの成す空間を定義している。

• Hibert scheme
• algebraic cycleの成す空間

位相空間の不変量 \(\varphi \) が与えられると, 数列 \(\{\varphi (\mathrm{SP}^n(X))\}\) ができる。このようなときに, 各 \(\varphi (\mathrm{SP}^n(X))\) を個別に求めるのではなく, generating function \(\sum _{n=0}^{\infty } \varphi (\mathrm{SP}^n(X))t^n\) を考えるのは常套手段である。例えば, 単体分割された空間の対称積のBetti数について は, Macdonald [Mac62] の公式がある。

MaximとSchürmann [MS]によると, 代数多様体の不変量につい ても, 同様のことが考えられている。Chern class (のsigular varietyへの一 般化) については Ohmoto [Ohm08]がある。他の特性類につい ても, Moonen [Moo78], Zagierの[Zag72], Borisovと Libgoberの[BL02], Cheahの[Che96]などがあるようであ る。ホモトピー論的なアプローチとしては, Ganther の [Gan06] がある。MaximとSchürmannはそれらの一般化を考えている。

対称積には, 点の重複度により自然にstratificationが入るが, stratified spaceにはWoolf [Woo09]によりfundamental categoryが定義される。Woolfは, \(\bbC \) の symmetric productのfundamental categoryを調べているが, そのmorphismは braid群の元の一般化で表わせる。

KallelとTaamallah [KT]は, \(X^n\)を対称群の部分群で割った空間 を考え\(X\)のpermutation productと呼んでいる。Macdonaldの [Mac62]では, partial symmetric productと呼ばれている。Kallel とTaamallahは, その基本群やEuler characteristicについて考えている。

対称積を用いて, branched coveringを定義 することもできる。

無限対称積は AguilarとGitlerとPrietoの本[AGP02]では, ホモロジー 群を定義するために使われている。その元になっているのは, Dold-Thomの定理 である。

• Dold-Thomの定理

対称積と関係の深い空間として, 多項式の成す空間がある。多項式に対しその 根は対称積の元とみなすのが自然だからである。多項式の成す空間や, そのコ ンパクト化のホモトピー型について, ShapiroとWelkerが [SW98]で調べている。

また, Beilinson と Drinfel\('\)d の [BD04] の§3.4で Ran space と呼ばれている構成も, 対称積や configuration space と関係が深い。Ran の [Ran00] では, very symmetric product と呼ばれている。空集合も含めたものは, exponential space と呼ばれるようである。 Beilinson と Drinfel\('\)d が考えているのは代数幾何学の文脈であり, Francis と Gaitsgory [FG12] にあるように, Ran space そのものより, その上の sheafの categoryを構成することを考えるべきだろう。

• exponential spaceとRan space

一般化としては, symmetric monoidal model categoryでの symmetric product がある。GorchinskiyとGuletskiiの[GG] で調べられている。その 動機は, motivic homotopy theoryの ようである。

代数多様体のホモトピー論としては, motivic homotopy theoryより古い étale homotopy theoryでも対称積は考えら れている。Tripathyの [Tri]では Dold-Thomの定理の類似も得られている。

References

[AGP02]

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[BD04]

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[BGZ]

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[BGŽ05]

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[Woo09]

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