Ring Spectrum

積を持つ spectrum は, コホモロジーの積構造とも関係しているため, spectrum の概念が導入された初期の頃から用いられていた。 しかしながら，当時の spectrum の圏では, 結合律や可換性などを扱うのは難しかった。可換性をきちんと扱うために May が導入したのが \(E_{\infty }\)-ring spectrum の概念だった。 ホモロジー作用素の定義のために必要なことを取り出して, \(H_{\infty }\)-structure を定義したのが，Bruner と May と McClure と Steinberger の [Bru+86] である。

• \(E_{\infty }\)-ring spectrum
• \(H_{\infty }\)-ring spectrum

\(H_{\infty }\)構造と \(E_{\infty }\)構造の違いについては，Noel の [Noe] がある。

このような, operad を用いた取り扱いを発展させて, Elmendorf と Kriz と Mandell と May (EKMM) [Elm+97] は, symmetric monoidal category の構造を持つ spectrum の圏を構築した。 その後, 他のアプローチも登場した。

• symmetric monoidal category になる spectrum のモデル

いづれにせよ, これらの spectrum の圏では, monoid object として (associative) ring spectrum (\(A_{\infty }\)-ring spectrum \(=\) \(E_{1}\)-ring spectrum) が, commutative monoid object として commutative ring spectrum (\(E_{\infty }\)-ring spectrum) を定義することができる。

ここで, 代数での環論の場合との大きな違いとして, associative (\(E_{1}\)) と commutative (\(E_{\infty }\)) の中間として, \(E_{n}\)-ring spectrum があることに注意する必要がある。

• ring spectrum の積の可換性

Elmendorf と Kriz と Mandell と May の [Elm+97] にも色々書かれているように, このような “structured ring spectrum” の圏では, 様々な代数的な構成の類似が行なえるため, 非常に便利である。代数的な概念の類似も定義できる。例えば, Szymik [Szy] は標数 \(p\) の概念を考えている。 それは, Antolín-Camarena と Barthelの [AB] で, \(\chi \in \pi _{k}(R)\) を標数に持つ ring spectrum \(R\), という概念に一般化されている。

• characteristic of ring spectrum

例えば, Beardsley [Bea] は, Ravenel の spectrum \(X(n)\) が標数 \(\eta \) を持つことを示している。

イデアルについては, Jeff Smith のアイデアがある。それを元に, Hovey が [Hov] で Smith ideal の概念を定義している。

• Smith ideal

Hovey は, ring spectrum より一般に, closed symmetric monoidal category の monoid object に対し Smith ideal の概念を定義している。White と Yau [WY] は, それを operad 上の algebra に拡張している。

コホモロジーの twisting を考えるためには, ring spectrum の unit が必要になる。 最初の試みは, May達 [May77]による \(E_{\infty }\)-ring spectrum の unit であるが, Ando, Blumberg, Gepner, Hopkins, Rezk [And+14b; And+14a] により現代的な structured ring spectrum に対してその定義が拡張されている。

• ring spectrum の multiplicative unit

これは, 現代的な Thom spectrum と parametrized spectrum の扱いに必要である。

• Thom spectrum
• parametrized spectrum

また, Sagave と Schlichitkrull [SS12] による diagram space と symmetric spectrum を用いたアプローチもある。 そこでは symmetric ring spectrum に対し graded unit の空間が定義されてい る。更に Sagave は, [Sag16] で graded unit の spectrum を定義している。

• symmetric ring spectrum の graded unit

References

[AB]

Omar Antolı́n-Camarena and Tobias Barthel. A simple universal property of Thom ring spectra. arXiv: 1411.7988.

[And+14a]

Matthew Ando, Andrew J. Blumberg, David Gepner, Michael J. Hopkins, and Charles Rezk. “An \(\infty \)-categorical approach to \(R\)-line bundles, \(R\)-module Thom spectra, and twisted \(R\)-homology”. In: J. Topol. 7.3 (2014), pp. 869–893. arXiv: 1403.4325. url: http://dx.doi.org/10.1112/jtopol/jtt035.

[And+14b]

Matthew Ando, Andrew J. Blumberg, David Gepner, Michael J. Hopkins, and Charles Rezk. “Units of ring spectra, orientations and Thom spectra via rigid infinite loop space theory”. In: J. Topol. 7.4 (2014), pp. 1077–1117. arXiv: 1403.4320. url: http://dx.doi.org/10.1112/jtopol/jtu009.

[Bea]

Jonathan Beardsley. Topological Hochschild homology of \(X(n)\). arXiv: 1708.09486.

[Bru+86]

R. R. Bruner, J. P. May, J. E. McClure, and M. Steinberger. \(H_{\infty }\) ring spectra and their applications. Vol. 1176. Lecture Notes in Mathematics. Berlin: Springer-Verlag, 1986, pp. viii+388. isbn: 3-540-16434-0.

[Elm+97]

A. D. Elmendorf, I. Kriz, M. A. Mandell, and J. P. May. Rings, modules, and algebras in stable homotopy theory. Vol. 47. Mathematical Surveys and Monographs. With an appendix by M. Cole. Providence, RI: American Mathematical Society, 1997, pp. xii+249. isbn: 0-8218-0638-6.

[Hov]

Mark Hovey. Smith ideals of structured ring spectra. arXiv: 1401.2850.

[May77]

J. Peter May. \(E_{\infty }\) ring spaces and \(E_{\infty }\) ring spectra. Lecture Notes in Mathematics, Vol. 577. With contributions by Frank Quinn, Nigel Ray, and Jørgen Tornehave. Berlin: Springer-Verlag, 1977, p. 268.

[Noe]

Justin Noel. H-infinity is not E-infinity. arXiv: 0910.3566.

[Sag16]

Steffen Sagave. “Spectra of units for periodic ring spectra and group completion of graded \(E_\infty \) spaces”. In: Algebr. Geom. Topol. 16.2 (2016), pp. 1203–1251. arXiv: 1111.6731. url: https://doi.org/10.2140/agt.2016.16.1203.

[SS12]

Steffen Sagave and Christian Schlichtkrull. “Diagram spaces and symmetric spectra”. In: Adv. Math. 231.3-4 (2012), pp. 2116–2193. arXiv: 1103.2764. url: https://doi.org/10.1016/j.aim.2012.07.013.

[Szy]

Markus Szymik. Commutative S-algebras of prime characteristics and applications to unoriented bordism. arXiv: 1211.3239.

[WY]

David White and Donald Yau. Smith Ideals of Operadic Algebras in Monoidal Model Categories. arXiv: 1703.05377.