Ring Spectrum

積を持つ spectrum は, コホモロジーの積構造とも関係しているため, spectrum の概念が導入された初期の頃から用いられていた。 しかしながら，当時の spectrum の圏では, 結合律や可換性などを扱うのは難しかった。可換性をきちんと扱うために May が導入したのが \(E_ {\infty }\)-ring spectrum の概念だった。 ホモロジー作用素の定義のために必要なことを取り出して, \(H_{\infty }\)-structure を定義したのが，Bruner と May と McClure と Steinberger の [Bru+86] である。

• \(E_{\infty }\)-ring spectrum
• \(H_{\infty }\)-ring spectrum

\(H_{\infty }\)構造と \(E_{\infty }\)構造の違いについては，Noel の [Noe] がある。

このような, operad を用いた取り扱いを発展させて, Elmendorf と Kriz と Mandell と May (EKMM) [Elm+97] は, symmetric monoidal category の構造を持つ spectrum の圏を構築した。 その後, 他のアプローチも登場した。

• symmetric monoidal category になる spectrum のモデル

いづれにせよ, これらの spectrum の圏では, monoid object として (associative) ring spectrum (\(A_{\infty }\)-ring spectrum \(=\) \(E_{1}\)-ring spectrum) が, commutative monoid object として commutative ring spectrum (\(E_{\infty }\)-ring spectrum) を定義することができる。

ここで, 代数での環論の場合との大きな違いとして, associative (\(E_{1}\)) と commutative (\(E_{\infty }\)) の中間として, \(E_{n}\)-ring spectrum があることに注意する必要がある。

• ring spectrum の積の可換性

Elmendorf と Kriz と Mandell と May の [Elm+97] にも色々書かれているように, このような “structured ring spectrum” の圏では, 様々な代数的な構成の類似が行なえるため, 非常に便利である。代数的な概念の類似も定義できる。例えば, Szymik [Szy14] は標数 \(p\) の概念を考えている。 それは, Antolín-Camarena と Barthelの [AB19] で, \(\chi \in \pi _{k}(R)\) を標数に持つ ring spectrum \(R\), という概念に一般化されている。

• characteristic of ring spectrum

例えば, Beardsley [Bea] は, Ravenel の spectrum \(X(n)\) が標数 \(\eta \) を持つことを示している。

イデアルについては, Jeff Smith のアイデアがある。

• Smith ideal

Hovey の [Hov] によると, 2006年6月6日の講演で披露されたものであり, Bruner による講演のノートと Bruner と Isaksen による考察が Hovey に送られたらしい。 Bruner と Isaksen の [BI] は, 日付が2006年7月16日となっているので, Hovey の論文に書かれているもののように思うが, その中で Hovey の論文に言及しているので, 少し修正されたもののようである。

Smith は, ring spectrum より一般に, closed symmetric monoidal category の monoid object に対し ideal の概念を定義しているが, White と Yau [WY24] は, それを operad 上の algebra に拡張している。

Adams が [Ada74] で Künneth spectral sequence や universal coefficient spectral sequence を得るために導入した条件をみたす ring spectrum を, Pstragowski [Pst23] は Adams-type spectrum と呼んでいる。その名前は Goerss と Hopkins の [GH04] で使われたのが最初のように思うが。

• Adams-type spectrum

コホモロジーの twisting を考えるためには, ring spectrum の unit が必要になる。 最初の試みは, May 達 [May77]による \(E_{\infty }\)-ring spectrum の unit であるが, Ando, Blumberg, Gepner, Hopkins, Rezk [And+14b; And+14a] により現代的な structured ring spectrum に対してその定義が拡張されている。

• ring spectrum の multiplicative unit

これは, 現代的な Thom spectrum と parametrized spectrum の扱いに必要である。

• Thom spectrum
• parametrized spectrum

また, Sagave と Schlichitkrull [SS12] による diagram space と symmetric spectrum を用いたアプローチもある。 そこでは symmetric ring spectrum に対し graded unit の空間が定義されてい る。更に Sagave は, [Sag16] で graded unit の spectrum を定義している。

• symmetric ring spectrum の graded unit

References

[AB19]

Omar Antolín-Camarena and Tobias Barthel. “A simple universal property of Thom ring spectra”. In: J. Topol. 12.1 (2019), pp. 56–78. arXiv: 1411.7988. url: https://doi.org/10.1112/topo.12084.

[Ada74]

J. F. Adams. Stable homotopy and generalised homology. Chicago, Ill.: University of Chicago Press, 1974, p. x 373.

[And+14a]

Matthew Ando, Andrew J. Blumberg, David Gepner, Michael J. Hopkins, and Charles Rezk. “An \(\infty \)-categorical approach to \(R\)-line bundles, \(R\)-module Thom spectra, and twisted \(R\)-homology”. In: J. Topol. 7.3 (2014), pp. 869–893. arXiv: 1403.4325. url: http://dx.doi.org/10.1112/jtopol/jtt035.

[And+14b]

Matthew Ando, Andrew J. Blumberg, David Gepner, Michael J. Hopkins, and Charles Rezk. “Units of ring spectra, orientations and Thom spectra via rigid infinite loop space theory”. In: J. Topol. 7.4 (2014), pp. 1077–1117. arXiv: 1403.4320. url: http://dx.doi.org/10.1112/jtopol/jtu009.

[Bea]

Jonathan Beardsley. Topological Hochschild homology of \(X(n)\). arXiv: 1708.09486.

[BI]

Robert R. Bruner and Daniel C. Isaksen. Jeff Smith’s Theory of Ideals. arXiv: 2208.07941.

[Bru+86]

R. R. Bruner, J. P. May, J. E. McClure, and M. Steinberger. \(H_{\infty }\) ring spectra and their applications. Vol. 1176. Lecture Notes in Mathematics. Berlin: Springer-Verlag, 1986, pp. viii+388. isbn: 3-540-16434-0.

[Elm+97]

A. D. Elmendorf, I. Kriz, M. A. Mandell, and J. P. May. Rings, modules, and algebras in stable homotopy theory. Vol. 47. Mathematical Surveys and Monographs. With an appendix by M. Cole. American Mathematical Society, Providence, RI, 1997, pp. xii+249. isbn: 0-8218-0638-6. url: https://doi.org/10.1090/surv/047.

[GH04]

P. G. Goerss and M. J. Hopkins. “Moduli spaces of commutative ring spectra”. In: Structured ring spectra. Vol. 315. London Math. Soc. Lecture Note Ser. Cambridge: Cambridge Univ. Press, 2004, pp. 151–200. url: http://dx.doi.org/10.1017/CBO9780511529955.009.

[Hov]

Mark Hovey. Smith ideals of structured ring spectra. arXiv: 1401.2850.

[May77]

J. Peter May. \(E_{\infty }\) ring spaces and \(E_{\infty }\) ring spectra. Lecture Notes in Mathematics, Vol. 577. With contributions by Frank Quinn, Nigel Ray, and Jørgen Tornehave. Berlin: Springer-Verlag, 1977, p. 268.

[Noe]

Justin Noel. H-infinity is not E-infinity. arXiv: 0910.3566.

[Pst23]

Piotr Pstragowski. “Synthetic spectra and the cellular motivic category”. In: Invent. Math. 232.2 (2023), pp. 553–681. arXiv: 1803.01804. url: https://doi.org/10.1007/s00222-022-01173-2.

[Sag16]

Steffen Sagave. “Spectra of units for periodic ring spectra and group completion of graded \(E_\infty \) spaces”. In: Algebr. Geom. Topol. 16.2 (2016), pp. 1203–1251. arXiv: 1111.6731. url: https://doi.org/10.2140/agt.2016.16.1203.

[SS12]

Steffen Sagave and Christian Schlichtkrull. “Diagram spaces and symmetric spectra”. In: Adv. Math. 231.3-4 (2012), pp. 2116–2193. arXiv: 1103.2764. url: https://doi.org/10.1016/j.aim.2012.07.013.

[Szy14]

Markus Szymik. “Commutative \(\mathbb {S}\)-algebras of prime characteristics and applications to unoriented bordism”. In: Algebr. Geom. Topol. 14.6 (2014), pp. 3717–3743. arXiv: 1211.3239. url: https://doi.org/10.2140/agt.2014.14.3717.

[WY24]

David White and Donald Yau. “Smith ideals of operadic algebras in monoidal model categories”. In: Algebr. Geom. Topol. 24.1 (2024), pp. 341–392. arXiv: 1703.05377. url: https://doi.org/10.2140/agt.2024.24.341.