積を持つ spectrum は, コホモロジーの積構造とも関係しているため, spectrum の概念が導入された初期の頃から用いられていた。
しかしながら,当時の spectrum の圏では, 結合律や可換性などを扱うのは難しかった。可換性をきちんと扱うために May が導入したのが
\(E_{\infty }\)-ring spectrum の概念だった。 ホモロジー作用素の定義のために必要なことを取り出して, \(H_{\infty }\)-structure を定義したのが,Bruner
と May と McClure と Steinberger の [Bru+86] である。
- \(E_{\infty }\)-ring spectrum
- \(H_{\infty }\)-ring spectrum
\(H_{\infty }\)構造と \(E_{\infty }\)構造の違いについては,Noel の [Noe] がある。
このような, operad を用いた取り扱いを発展させて, Elmendorf と Kriz と Mandell と May (EKMM)
[Elm+97] は, symmetric monoidal category の構造を持つ spectrum の圏を構築した。 その後,
他のアプローチも登場した。
いづれにせよ, これらの spectrum の圏では, monoid object として (associative) ring spectrum
(\(A_{\infty }\)-ring spectrum \(=\) \(E_{1}\)-ring spectrum) が, commutative monoid object として commutative
ring spectrum (\(E_{\infty }\)-ring spectrum) を定義することができる。
ここで, 代数での環論の場合との大きな違いとして, associative (\(E_{1}\)) と commutative (\(E_{\infty }\)) の中間として, \(E_{n}\)-ring
spectrum があることに注意する必要がある。
Elmendorf と Kriz と Mandell と May の [Elm+97] にも色々書かれているように, このような “structured
ring spectrum” の圏では, 様々な代数的な構成の類似が行なえるため, 非常に便利である。代数的な概念の類似も定義できる。例えば,
Szymik [Szy] は標数 \(p\) の概念を考えている。 それは, Antolín-Camarena と Barthelの [AB] で, \(\chi \in \pi _{k}(R)\) を標数に持つ
ring spectrum \(R\), という概念に一般化されている。
- characteristic of ring spectrum
例えば, Beardsley [Bea] は, Ravenel の spectrum \(X(n)\) が標数 \(\eta \) を持つことを示している。
イデアルについては, Jeff Smith のアイデアがある。それを元に, Hovey が [Hov] で Smith ideal
の概念を定義している。
Hovey は, ring spectrum より一般に, closed symmetric monoidal category の monoid
object に対し Smith ideal の概念を定義している。White と Yau [WY] は, それを operad 上の algebra
に拡張している。
コホモロジーの twisting を考えるためには, ring spectrum の unit が必要になる。 最初の試みは, May達
[May77]による \(E_{\infty }\)-ring spectrum の unit であるが, Ando, Blumberg, Gepner, Hopkins, Rezk
[And+14b; And+14a] により現代的な structured ring spectrum に対してその定義が拡張されている。
これは, 現代的な Thom spectrum と parametrized spectrum の扱いに必要である。
また, Sagave と Schlichitkrull [SS12] による diagram space と symmetric spectrum
を用いたアプローチもある。 そこでは symmetric ring spectrum に対し graded unit の空間が定義されてい る。更に
Sagave は, [Sag16] で graded unit の spectrum を定義している。
- symmetric ring spectrum の graded unit
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