Applications of Persistent Homology

Persistent homology の人気は留まるところを知らない。様々な分野での応用が次々に発見されている。 当然, ここで全ての応用を網羅するのは不可能であるが, 以下に気が付いたものを集めてみた。

最新のものとしては, この webpage を見るとよい。

このような数学の外への応用以外にも, 数学の問題にも使おうという試みもある。 Bubenikと de Silva と Scott の [BSS] の section 1.3 に interleaving distance が使われている例が, いくつか挙げられている。

  • Alsing ら [Als+] は Ricci flow の discrete版である simplicial Ricci flow の特異点を調べるために使おうとしている。
  • Usher と Zhang [UZ] は Novikov 流の closed 1-form による Morse theoryFloer theory へ barcode を拡張することを考えている。
  • Floer theory に関しては, Usher と Zhang 以前に Polterovich と Shelukhin の [PS] がある。 Zhang [Zha] は [UZ] の結果を用いて Polterovich と Shelukhin の結果を拡張している。
  • Frosini と Landi は [FL] で, \(C^1\)級の写像 \(S^1 \to \R ^2\) を調べるのに使っている。
  • 写像を調べたものとしては, Patel らの [Ben+] もある。
  • Fractal 次元とも関係あるようである。 Schweinhart [Sch] によると, 既に Robins の Ph.D. thesis [Rob00] に現れているらしい。 他にも, MacPherson と Schweinhart の [MS] や, Adams らの [Ada+] がある。

最近では, 驚くほど多くの symplectic geometrycontact geometry への応用が発見されている。 まずは, Polterovich, Rosen, Samvelyan, Zhang の [Pol+20] を見てみるのがよいと思う。

References

[Ada+]

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[Als+]

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[Ben+]

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[Rob00]

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[Spr+]

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[Zha]

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[平岡裕13]

平岡裕章. タンパク質構造とトポロジー – パーシステントホモロジー群入門 –. シリーズ・現象を解明する数学. 東京: 共立出版, 2013, p. 131.