Origami

折り紙は, 日本人には馴染み深いものだが, 数学の対象としても考えられている。 正方形あるいは \(\R ^{2}\) の 凸多角形による胞体分割で, 各\(1\)胞体に谷折りか山折りかが指定されているもの, と定義するのが, 日本人が折り紙という言葉から想像するものに一番近いが, 他にも別の意味で origami という言葉が使われている。例えば, 以下のようなものがある。

• origami surface
• origami (symplectic) manifold

Origami surface は, 正方形を貼り合せて作られた曲面のことで, Hidalgo [Hid] によると, Thurston [Thu88] により研究が始められ, Veech [Vee89] などにより調べられている。 Hidalgo は, Lochak の [Loc05], Schmithüsen の [Sch04; Sch06] を参照している。

Origami manifold は, symplectic form をより一般的な origami form にした symplectic manifold の一般化である。Cannas da Silva, Guillemin, Pries の [CGP11] で導入された。「折り目」に対応する hypersurface 以外では symplectic form になっているという条件である。

これらは, 日本人が折り紙と呼んでいるものと程遠いものであるが, 平面を折って作る構成自体も, 数学の対象として調べられている。 日本語で書かれたものでは, Geretschläger の本の和訳 [Ger02] が最も入手し易いと思う。

この本では, まず Euclid 幾何学での定規とコンパスによる構成と折り紙による構成が比較され, 折り紙では角の3等分など, Euclid幾何学では不可能な構成が可能になることが示されている。

また, 折り紙による代数方程式の解法も詳しく解説されている。 Euclid 幾何学で不可能な構成が折り紙で可能になる理由は, 与えられた2点 \(p_{1}\), \(p_{2}\) と2直線 \(\ell _{1}\), \(\ell _{2}\) に対し, \(\ell _{1}\) が \(p_{1}\) を, \(\ell _{2}\) を \(p_{2}\) を通るように折ることを許しているからである。これを一般化した \(n\)-fold operation を許すと, 実数解を持つ \((n+2)\)次の代数方程式の解を構成できることを, Alperin と Lang [AL09] が示している。

最近では, amplituhedron との関係が Galashin [Gal] により発見されている。 これについては, Quanta Magazine の記事がある。

同じく Quanta Magazine の記事で知ったのであるが, Turing machine と同等の計算モデルを origami で構成することができる, らしい。 Hull と Zakharevich [HZ] の結果である。 この Zakharevich は scissors congruence group を higher algebraic \(K\)-theory の手法で一般化した Zakharevich と同一人物であるが, この Quanta Magazine の記事によると小さい頃から折り紙が好きだったようである。

References

[AL09]

Roger C. Alperin and Robert J. Lang. “One-, two-, and multi-fold origami axioms”. In: Origami\(^{4}\). A K Peters, Natick, MA, 2009, pp. 371–393. url: https://doi.org/10.1201/b10653-37.

[CGP11]

A. Cannas da Silva, V. Guillemin, and A. R. Pires. “Symplectic origami”. In: Int. Math. Res. Not. IMRN 18 (2011), pp. 4252–4293. arXiv: 0909.4065. url: https://doi.org/10.1093/imrn/rnq241.

[Gal]

Pavel Galashin. Amplituhedra and origami. arXiv: 2410.09574.

[Ger02]

Robert Geretschläger. 折り紙の数学. 深川英俊訳. 東京: 森北出版, 2002.

[Hid]

Rubén A. Hidalgo. Origami-Schottky groups. arXiv: 2007.01781.

[HZ]

Thomas C. Hull and Inna Zakharevich. Flat origami is Turing Complete. arXiv: 2309.07932.

[Loc05]

Pierre Lochak. “On arithmetic curves in the moduli spaces of curves”. In: J. Inst. Math. Jussieu 4.3 (2005), pp. 443–508. url: https://doi.org/10.1017/S1474748005000101.

[Sch04]

Gabriela Schmithüsen. “An algorithm for finding the Veech group of an origami”. In: Experiment. Math. 13.4 (2004), pp. 459–472. arXiv: math/0401185. url: http://projecteuclid.org/euclid.em/1109106438.

[Sch06]

Gabriela Schmithüsen. “Examples for Veech groups of origamis”. In: The geometry of Riemann surfaces and abelian varieties. Vol. 397. Contemp. Math. Amer. Math. Soc., Providence, RI, 2006, pp. 193–206. url: https://doi.org/10.1090/conm/397/07473.

[Thu88]

William P. Thurston. “On the geometry and dynamics of diffeomorphisms of surfaces”. In: Bull. Amer. Math. Soc. (N.S.) 19.2 (1988), pp. 417–431. url: http://dx.doi.org/10.1090/S0273-0979-1988-15685-6.

[Vee89]

W. A. Veech. “Teichmüller curves in moduli space, Eisenstein series and an application to triangular billiards”. In: Invent. Math. 97.3 (1989), pp. 553–583. url: https://doi.org/10.1007/BF01388890.