Motivic Spaces

Voevodsky と Morel [MV99] は, smooth scheme の category を拡張する category で, ホモトピー論を行なえるものを構築した。 Dundas らによる UniversiText [Dun+07] では, その対象を motivic space と呼んでいるので, ここでもそう呼ぶことにする。

Morel と Voevodsky は, その category を以下の手順で構成した:

1. smooth scheme の category を Yoneda embedding で集合の category に値を持つ presheaf の category に埋め込む。
2. それを simplicial set の category に値を持つ presheaf (simplicial presheaf) の category に拡張する。
3. その中の Nisnevich 位相に関する sheaf (simplicial sheaf) の成す部分圏を取り, Jardine [Jar87] の方法により model structure を入れる。
4. その model structure を affine line \(\mathbb {A}^1\) が可縮になるように Bousfield localize する。

ホモトピー論を行なうことが目的なので, model category や \((\infty ,1)\)-category などの構造を持つことが必要になるが, Morel と Voevodsky は model category を使っている。 その元になっているのは, Jardine [Jar87] による Grothendieck topology を持つ category 上の simplicial presheaf や simplicial sheaf の category の model structure である。

ただし, Jardine の論文に Proposition 2.8 として書かれているように, homotopy category を取ると同値になってしまうので, simplicial sheaf を使う必要はない。それを Bousfield localization を用いて reformulate したのが Dugger, Hollander, Isaksen の [DHI04] である。 そこでは, Jardine の local model structure が simplicial presheaf の category の injective model structure の hypercover による Bousfield localization と一致することが示されている。 よって, 現在 motivic space の category を model category として構成する手順は次のようになっている:

1. smooth scheme の category を Yoneda embedding で simplicial presheaf の圏に埋め込む。
2. simplicial presheaf の圏に injective model structure を入れる。
3. injective model structure の Nisnevich 位相に関する hypercover による Bousfield localization を取る。
4. 更にそれを affine line \(\mathbb {A}^{1}\) が可縮になるように Bousfield localization を取る。

この2番目の段階で, injective model structure ではなく projective model structure を用いてもよい。例えば, Dugger の [Dug01] など。 そこでは, universal model category と呼ばれている。

More-Voevodsky の motivic space は, 位相空間の類似であり, 位相空間の unstable homotopy theory の類似が考えられる。

• motivic analogues of topological concepts and facts

Motivic homotopy theory の応用としては, Dugger と Isaksen の sums of squares の問題への応用 [DI07; DI05; DI08] がある。

Motivic space は, 位相空間のホモトピー論の真似をしようとして smooth scheme の category 上の simplicial presheaf を用いて定義されたが, 逆にその手法を smooth manifold に用いたら, 位相空間のホモトピー論が得られるのか, というのは自然な疑問である。 それについては, Dmitri Pavlov の [Pav] で考えられている。

また, 同様の手法は Bunke と Engel [BE20] により coarse space のホモトピー論を構築するためにも用いられている。

References

[BE20]

Ulrich Bunke and Alexander Engel. Homotopy theory with bornological coarse spaces. Vol. 2269. Lecture Notes in Mathematics. Springer, Cham, [2020] ©2020, pp. vii+243. isbn: 978-3-030-51335-1; 978-3-030-51334-4. arXiv: 1607.03657. url: https://doi.org/10.1007/978-3-030-51335-1.

[DHI04]

Daniel Dugger, Sharon Hollander, and Daniel C. Isaksen. “Hypercovers and simplicial presheaves”. In: Math. Proc. Cambridge Philos. Soc. 136.1 (2004), pp. 9–51. arXiv: math/0205027. url: https://doi.org/10.1017/S0305004103007175.

[DI05]

Daniel Dugger and Daniel C. Isaksen. “Algebraic \(K\)-theory and sums-of-squares formulas”. In: Doc. Math. 10 (2005), pp. 357–366. arXiv: math/0407226.

[DI07]

Daniel Dugger and Daniel C. Isaksen. “The Hopf condition for bilinear forms over arbitrary fields”. In: Ann. of Math. (2) 165.3 (2007), pp. 943–964. arXiv: math / 0309197. url: http://dx.doi.org/10.4007/annals.2007.165.943.

[DI08]

Daniel Dugger and Daniel C. Isaksen. “Etale homotopy and sums-of-squares formulas”. In: Math. Proc. Cambridge Philos. Soc. 145.1 (2008), pp. 1–25. arXiv: math / 0609301. url: http://dx.doi.org/10.1017/S0305004108001205.

[Dug01]

Daniel Dugger. “Universal homotopy theories”. In: Adv. Math. 164.1 (2001), pp. 144–176. arXiv: math/0007070. url: http://dx.doi.org/10.1006/aima.2001.2014.

[Dun+07]

B. I. Dundas, M. Levine, P. A. Østvær, O. Röndigs, and V. Voevodsky. Motivic homotopy theory. Universitext. Lectures from the Summer School held in Nordfjordeid, August 2002. Springer-Verlag, Berlin, 2007, pp. x+221. isbn: 978-3-540-45895-1; 3-540-45895-6. url: http://dx.doi.org/10.1007/978-3-540-45897-5.

[Jar87]

J. F. Jardine. “Simplicial presheaves”. In: J. Pure Appl. Algebra 47.1 (1987), pp. 35–87. url: http://dx.doi.org/10.1016/0022-4049(87)90100-9.

[MV99]

Fabien Morel and Vladimir Voevodsky. “\(\mathbf {A}^1\)-homotopy theory of schemes”. In: Inst. Hautes Études Sci. Publ. Math. 90 (1999), 45–143 (2001). url: http://www.numdam.org/item?id=PMIHES_1999__90__45_0.

[Pav]

Dmitri Pavlov. Projective model structures on diffeological spaces and smooth sets and the smooth Oka principle. arXiv: 2210.12845.