Matroidとoriented matroid

Matroid は, Whitney により [Whi35] でベクトルの一次従属性を抽象化するものとして導入されたものである, と思っていたのだが, 筑波大学数学系にある 中澤武 雄の業績というページによると, どうやら同じ1935年に日本でも独立に matroid の概念が発見されていたらしい。この中澤武雄という数学者については, Springer (Birkhäuser) から本 [NK09] が出た。

誰が最初に発見したかはともかく, matroid は 組み合せ論では重要な概念である。 特に, 符号付き matroid とも言うべき oriented matroid は, トポロジーにも色々応用がある。例えば, Gel\('\)fand と MacPherson の Pontrjagin class の公式などで使われている。

Bandelt と Chepoi と Knauer の [BCK] によると, oriented matroid は Bland と Las Vergnas [BL78] と Folkman と Lawrence [FL78] により同時に発見された概念のようである。 Gel\('\)fand と MacPherson の論文 [GM92] では, oriented matroid の解説として Björner と Las Vergnas と Sturmfels と White と Ziegler の [Bjö+99]が推薦されている。Oriented matroid を勉強するからには, とりあえずこの本は読んでおくべきだろう。ただ oriented matroid に関係した分野は多岐に渡り, この本も様々な話題をまとめたものになってい る。Richter-Gebert と Ziegler の解説 [RZ97] で概観 を掴んでから, 5人組の本の興味を持った部分を読むのがよいかもしれない。 Ziegler による oriented matroid に関する “Dynamic Survey” もある。5人組の本の update も含まれている。

具体的なデータに基づいたものとしては, Bokowski の [Bok06] がある。 Haskel の script で具体的な oriented matroid に関するデータを計算しながら読むようになっている。カラー写真などの図も豊富である。

Oriented matroid のことを勉強するためには, 少しは普通の matroid についても知っておいた方がよいだろう。5人組の本に挙げてある (oriented でない) matroid の参考文献は, Welsh の [Wel76], Aigner の [Aig79], White の [Whi86; Whi87; Whi92], Oxley の [Oxl92] である。 また Sandra Kinganという人のweb siteも参照してある。そのページには入門としてOxley の本が勧められている。代数幾何学者を対象にしたsurvey として Eric Katz の [Kat16] もある。

References

[Aig79]

Martin Aigner. Combinatorial theory. Vol. 234. Grundlehren der Mathematischen Wissenschaften [Fundamental Principles of Mathematical Sciences]. Berlin: Springer-Verlag, 1979, pp. viii+483. isbn: 0-387-90376-3.

[BCK]

Hans-Juergen Bandelt, Victor Chepoi, and Kolja Knauer. COMs: Complexes of Oriented Matroids. arXiv: 1507.06111.

[Bjö+99]

Anders Björner, Michel Las Vergnas, Bernd Sturmfels, Neil White, and Günter M. Ziegler. Oriented matroids. Second. Vol. 46. Encyclopedia of Mathematics and its Applications. Cambridge: Cambridge University Press, 1999, pp. xii+548. isbn: 0-521-77750-X. url: http://dx.doi.org/10.1017/CBO9780511586507.

[BL78]

Robert G. Bland and Michel Las Vergnas. “Orientability of matroids”. In: J. Combinatorial Theory Ser. B 24.1 (1978), pp. 94–123. url: https://doi.org/10.1016/0095-8956(78)90080-1.

[Bok06]

Jürgen G. Bokowski. Computational oriented matroids. Equivalence classes of matrices within a natural framework. Cambridge: Cambridge University Press, 2006, pp. xiv+323. isbn: 978-0-521-84930-2; 0-521-84930-6.

[FL78]

Jon Folkman and Jim Lawrence. “Oriented matroids”. In: J. Combin. Theory Ser. B 25.2 (1978), pp. 199–236. url: http://dx.doi.org/10.1016/0095-8956(78)90039-4.

[GM92]

I. M. Gel\('\)fand and R. D. MacPherson. “A combinatorial formula for the Pontrjagin classes”. In: Bull. Amer. Math. Soc. (N.S.) 26.2 (1992), pp. 304–309. arXiv: math/9204231. url: http://dx.doi.org/10.1090/S0273-0979-1992-00282-3.

[Kat16]

Eric Katz. “Matroid theory for algebraic geometers”. In: Nonarchimedean and tropical geometry. Simons Symp. Springer, [Cham], 2016, pp. 435–517. arXiv: 1409.3503.

[NK09]

Hirokazu Nishimura and Susumu Kuroda, eds. A lost mathematician, Takeo Nakasawa. The forgotten father of matroid theory. Basel: Birkhäuser Verlag, 2009, pp. xii+234. isbn: 978-3-7643-8572-9. url: http://dx.doi.org/10.1007/978-3-7643-8573-6.

[Oxl92]

James G. Oxley. Matroid theory. Oxford Science Publications. New York: The Clarendon Press Oxford University Press, 1992, p. xii 532. isbn: 0-19-853563-5.

[RZ97]

Jürgen Richter-Gebert and Günter M. Ziegler. “Oriented matroids”. In: Handbook of discrete and computational geometry. CRC Press Ser. Discrete Math. Appl. Boca Raton, FL: CRC, 1997, pp. 111–132.

[Wel76]

D. J. A. Welsh. Matroid theory. L. M. S. Monographs, No. 8. London: Academic Press [Harcourt Brace Jovanovich Publishers], 1976, pp. xi+433.

[Whi35]

Hassler Whitney. “On the Abstract Properties of Linear Dependence”. In: Amer. J. Math. 57.3 (1935), pp. 509–533. url: http://dx.doi.org/10.2307/2371182.

[Whi86]

Neil White, ed. Theory of matroids. Vol. 26. Encyclopedia of Mathematics and its Applications. Cambridge University Press, Cambridge, 1986, pp. xviii+316. isbn: 0-521-30937-9. url: http://dx.doi.org/10.1017/CBO9780511629563.

[Whi87]

Neil White, ed. Combinatorial geometries. Vol. 29. Encyclopedia of Mathematics and its Applications. Cambridge University Press, Cambridge, 1987, pp. xii+212. isbn: 0-521-33339-3.

[Whi92]

Neil White, ed. Matroid applications. Vol. 40. Encyclopedia of Mathematics and its Applications. Cambridge University Press, Cambridge, 1992, pp. xii+363. isbn: 0-521-38165-7. url: http://dx.doi.org/10.1017/CBO9780511662041.