Interleaving Distance

Interleaving distance は, Chazal ら [Cha+09] により導入された persistence module に対する距離である。

Bjerkevik と Botnan [BB18] は, その computational complexity を調べている。

Bubenik と de Silva [BSS] に書かれているように, interleaving distance は, persistent homology に留まらず, symplectic geometry, contact geometry, sheaf theory, computational geometry, phylogenetics などで使われるようになっている。

すなわち, 一般化も色々定義されている, ということである。

Bubenik らは [BS14; BSS15] poset からの functor に一般化している。

Ginot と Leray [GL] は, コホモロジーで, カップ積や Steenrod algebra の作用に関する情報も含めた変種を導入している。

de Silva と Munch と Stefanou [SMS18] は, poset \([0,\infty )\) を和により monoidal category と考えたものの作用する category を category with flow と呼び, persistence module の一般化と考え, interleaving distance の一般化を定義している。

Kashiwara と Schapira [KS18] は, sheaf の category の derived category への一般化を導入した。 Asano と Ike の [AI] では, derived interleaving distance と呼ばれている。

• derived interleaving distance

その後, Petit と Schapira ら [PS; PSW] により, その性質が調べられている。

References

[AI]

Tomohiro Asano and Yuichi Ike. Completeness of derived interleaving distances and sheaf quantization of non-smooth objects. arXiv: 2201.02598.

[BB18]

Håvard Bakke Bjerkevik and Magnus Bakke Botnan. “Computational complexity of the interleaving distance”. In: 34th International Symposium on Computational Geometry. Vol. 99. LIPIcs. Leibniz Int. Proc. Inform. Schloss Dagstuhl. Leibniz-Zent. Inform., Wadern, 2018, Art. No. 13, 15. arXiv: 1712.04281.

[BS14]

Peter Bubenik and Jonathan A. Scott. “Categorification of persistent homology”. In: Discrete Comput. Geom. 51.3 (2014), pp. 600–627. arXiv: 1205.3669. url: https://doi.org/10.1007/s00454-014-9573-x.

[BSS]

Peter Bubenik, Vin de Silva, and Jonathan Scott. Interleaving and Gromov-Hausdorff distance. arXiv: 1707.06288.

[BSS15]

Peter Bubenik, Vin de Silva, and Jonathan Scott. “Metrics for generalized persistence modules”. In: Found. Comput. Math. 15.6 (2015), pp. 1501–1531. arXiv: 1312. 3829. url: https://doi.org/10.1007/s10208-014-9229-5.

[Cha+09]

Frédéric Chazal, David Cohen-Steiner, Marc Glisse, Leonidas J. Guibas, and Steve Oudot. “Proximity of persistence modules and their diagrams”. In: Symposium on Computational Geometry. Ed. by John Hershberger 0001 and Efi Fogel. ACM, 2009, pp. 237–246. isbn: 978-1-60558-501-7. url: http://doi.acm.org/10.1145/1542362.

[GL]

Grégory Ginot and Johan Leray. Multiplicative persistent distances. arXiv: 1905.12307.

[KS18]

Masaki Kashiwara and Pierre Schapira. “Persistent homology and microlocal sheaf theory”. In: J. Appl. Comput. Topol. 2.1-2 (2018), pp. 83–113. arXiv: 1705.00955. url: https://doi.org/10.1007/s41468-018-0019-z.

[PS]

Francois Petit and Pierre Schapira. Thickening of the diagonal and interleaving distance. arXiv: 2006.13150.

[PSW]

Francois Petit, Pierre Schapira, and Lukas Waas. A property of the interleaving distance for sheaves. arXiv: 2108.13018.

[SMS18]

V. de Silva, E. Munch, and A. Stefanou. “Theory of interleavings on categories with a flow”. In: Theory Appl. Categ. 33 (2018), Paper No. 21, 583–607. arXiv: 1706.04095.