Homotopy

代数的トポロジーでは, (コ)ホモロジーや ホモトピー群などの, 群や環や加群に値を持つ「ホモトピー不変量」を駆使して空間を調べる。 「ホモトピー不変」の意味は文脈によって変わるが, もっとも素朴なものは, ある写像 \(f: X\to Y\) が別の写像 \(g: X\to Y\) に連続的に変形できるとき, \(f\) の誘導する写像と \(g\) の誘導する写像が同じである, というものである。

このような連続写像の連続的変形を定式化したのが, ホモトピーである。

• 位相空間の間の2つの連続写像 \[ f, g : X \longrightarrow Y \] に対し \(f\) から \(g\) へのホモトピー (homotopy), および \(f\) と \(g\) がホモトピック (homotopic) \(f\simeq g\) であることの定義
• 関係 \(\simeq \) が \(X\) から \(Y\) への連続写像全体の成す集合 \(\mathrm{Map}(X,Y)\) 上の同値関係であること
• \(X\) から \(Y\) への連続写像のホモトピー類の成す集合 \([X,Y]\) (ホモトピー集合)
• 2つの基点を保つ写像が, 基点を保って homotopic であること
• \(X\) から \(Y\) への基点を保つ連続写像の基点を保つホモトピー類の成す集 合 \([X,Y]_{*}\)
• 空間対, より一般に, \(n\)-ad の間の2つ写像のホモトピー, そしてホモトピー集合

雑誌「数理科学」にも書いた [玉19] が, 写像の連続的変形を最初に考えたのは, Brouwer [Bro11; Bro12] だったようである。 ただ, 位相空間の概念がまだ確立していない時代だったので, そこに至るのは容易ではなかったようである。 ホモトピーのアイデアのもとになった, 解析学などでの具体的な問題や定理については, Vanden Eynde の [Van92] に詳しく書かれている。

数理科学の記事では, \(H:X\times [0,1]\to Y\) という形の写像をホモトピーとして定義したのが Brouwer であると書いたが, それは間違いだったようである。直積空間は, 1926年に Tychonoff により定義されたものだからである。Brouwer の考えたのは \(f\) と \(g\) を繋ぐ写像の族 \(\{h_{t}\}_{0\le t\le 1}\) だった。 現在のホモトピーの定義は, 誰が最初に発見したのだろうか。

とにかく, ホモトピーの概念が確立するると, 空間の間の関係として, ホモトピー同値が定義できるようになる。数理科学の記事にも書いたが, ホモトピー同値は, Hurewicz [Hur35] により定義されたものである。

• ホモトピー同値写像 (homotopy equivalence)
• simple homotopy同値

正確には, simple homotopy は写像に関することではなく, 単体的複体やより一般の cell complex の単体や胞体を潰したり膨らませたりすることにより得られる関 係であるが, simple homotopy 同値ならばホモトピー同値なので, 上に挙げた。

ホモトピーを使うと, ホモトピー群が定義できるが, それを用いてホモトピー同値より弱い, 弱ホモトピー同値の概念を定義することがきる。

• \(n\)同値
• 弱ホモトピー同値

ホモトピー群は当然であるが, ホモロジー群のように, 代数的トポロジーで用いられる不変量は, 弱ホモトピー同値で不変になっている。 そのため, 現在では, 「ホモトピー不変性」と言ったとき, 「弱ホモトピー同値不変性」を意味する場合も多い。

ホモトピー同値と関連した概念として以下のものがある。

• 位相空間が, 可縮 (contractible) であること, そして contraction の定義
• 位相空間 \(X\) の self-homotopy equivalenceの成す群 \(\mathcal{E}(X)\)

Noncompact な空間を, 無限遠点でのふるまいも考慮して考える枠組みとして, proper homotopy theory というものがある。

• proper homotopy theory

ホモトピーの変種としては, Cannon と Conner [CC00] の big homotopy もある。閉区間 \([0,1]\) を totally ordered set で, そこに自然に定義される位相に関し compact で connected なものに取り替えて定義されるものである。Penrod の [Pen] を見るとよい。

• big homotopy

2つの空間がホモトピー同値がどうかを判定するために, \(X\) と \(Y\) の被覆 \begin{align*} \mathcal{U} & = \{U_{\alpha }\}_{\alpha \in A} \\ \mathcal{V} & = \{V_{\alpha }\}_{\alpha \in A} \end{align*}

が与えられ \[ f : X \longrightarrow Y \] が各 \(\alpha \in A\) に対しホモトピー同値 \[ f|_{U_{\alpha }} : U_{\alpha } \longrightarrow V_{\alpha } \] のとき, \(f\) 自体がホモトピー同値か, という問題が考えられる。 これについては, tom Dieck が [Die71] で考察している。

特別な場合として, 被覆が増加列 \[ U_1\subset U_2 \subset \dots \subset \colim _{n} U_{n}=X \] で \(Y\) が1点のときがある。問題は, 各 \(U_{n}\) が可縮なら \(X\) も可縮になるか, であるが, 一般には正しくない。現在のホモトピー論では, このような問題は colimit が homotopy colimit で置き換えられるか, という問題に帰着して考えるのが普通である。 位相空間論のみで, homotopy colimit を用いずに考えたものとして Ancel と Roberts の [AE] がある。

References

[AE]

Fredric D. Ancel and Robert D. Edwards. Is a monotone union of contractible open sets contractible? arXiv: 1606.05379.

[Bro11]

L. E. J. Brouwer. “Beweis der Invarianz der Dimensionenzahl”. In: Math. Ann. 70.2 (1911), pp. 161–165. url: https://doi.org/10.1007/BF01461154.

[Bro12]

Luitzen Egbertus Jan Brouwer. “Continuous one-one transformations of surfaces in themselves (5th communication.)” In: Proc. of the Section of Sciences, K. Nederlandse Akademie van Wetenschappen te Amsterdam 15 (1912), pp. 352–360.

[CC00]

J. W. Cannon and G. R. Conner. “The big fundamental group, big Hawaiian earrings, and the big free groups”. In: Topology Appl. 106.3 (2000), pp. 273–291. url: http://dx.doi.org/10.1016/S0166-8641(99)00104-2.

[Die71]

Tammo tom Dieck. “Partitions of unity in homotopy theory”. In: Compositio Math. 23 (1971), pp. 159–167.

[Hur35]

Witold Hurewicz. “Homotopie, Homologie und lokaler Zusammenhang”. In: Fund. Math. 25.1 (1935), pp. 467–485.

[Pen]

Keith Penrod. Big fundamental groups: generalizing homotopy and big homotopy. arXiv: 1410.3088.

[Van92]

Ria Vanden Eynde. “Historical evolution of the concept of homotopic paths”. In: Arch. Hist. Exact Sci. 45.2 (1992), pp. 127–188. url: https://doi.org/10.1007/BF00374251.

[玉19]

玉木大. “ホモトピーという考え方の広がり”. In: 数理科学 671 (2019), pp. 23–28.