Triangulated category の autoequivalence の成す群

Triangulated category について, その autoequivalence の成す群を調べることは基本的な問題のようである。 Bridgeland の [Bri06] でも, 代数多様体の連接層の derived category に関する二つの大きな問題のうちの一つとして, autoequivalence の成す群の決定が挙げられている。

代数多様体の連接層の derived category の場合には, 基本的な autoequivalence としては以下のものがある:

• 代数多様体の自己同型から誘導されたもの
• invertible sheaf の tensor で得られるもの
• shift operator \([1]\)

ある条件をみたす代数多様体の場合, Bondalと Orlov は [BO01] でこれらで autoequivalence の群が生成されていることを示した。

もちろん, これら以外にも生成元がある場合も多い。重要なのは spherical objectから得られる autoequivalence である。これは braid群の triangulated category への作用と深い関係にあり, Klein 型特異点の stability condition の空間を調べる上で非常に重要な役割を果している。

• spherical object
• spherical object から得られる autoequivalence

Donovan と Wemyss [DW] によると, ある種の 3-fold から real hyperplane arrangement が作られ, その complexification の基本群が derived category に作用するらしい。 Pinkham の [Pin83] と Wemyss の [Wem] が参照されている。その後, Hirano と Wemyss [HW] はその作用が faithful であ ることを証明したと言っている。

他にも braid群が triangulated category に作用する場合はいくつもある。 Khovanov と Thomas の [KT07] によると, それらの作用は, 多くの場合 braid cobordism category の作用に一般化できるらしい。

Autoequivalence と stability condition の compatibility については, Lowrey が [Low] で調べている。

Huybrechts と Thomas は, [HT06] で projective space object という概念を導入し, それによっても autoequivalence が得られることを示している。

• projective space object

References

[BO01]

Alexei Bondal and Dmitri Orlov. “Reconstruction of a variety from the derived category and groups of autoequivalences”. In: Compositio Math. 125.3 (2001), pp. 327–344. arXiv: alg-geom/9712029. url: http://dx.doi.org/10.1023/A:1002470302976.

[Bri06]

Tom Bridgeland. “Derived categories of coherent sheaves”. In: International Congress of Mathematicians. Vol. II. Eur. Math. Soc., Zürich, 2006, pp. 563–582. arXiv: math/0602129.

[DW]

Will Donovan and Michael Wemyss. Twists and braids for general 3-fold flops. arXiv: 1504.05320.

[HT06]

Daniel Huybrechts and Richard Thomas. “\(\mathbb{P}\)-objects and autoequivalences of derived categories”. In: Math. Res. Lett. 13.1 (2006), pp. 87–98. arXiv: math/0507040. url: http://dx.doi.org/10.4310/MRL.2006.v13.n1.a7.

[HW]

Yuki Hirano and Michael Wemyss. Faithful Actions from Hyperplane Arrangements. arXiv: 1612.02582.

[KT07]

Mikhail Khovanov and Richard Thomas. “Braid cobordisms, triangulated categories, and flag varieties”. In: Homology, Homotopy Appl. 9.2 (2007), pp. 19–94. arXiv: math/0609335. url: http://projecteuclid.org/euclid.hha/1201127331.

[Low]

Parker E. Lowrey. Interactions between autoequivalences, stability conditions, and moduli problems. arXiv: 0905.1731.

[Pin83]

Henry C. Pinkham. “Factorization of birational maps in dimension \(3\)”. In: Singularities, Part 2 (Arcata, Calif., 1981). Vol. 40. Proc. Sympos. Pure Math. Amer. Math. Soc., Providence, RI, 1983, pp. 343–371.

[Wem]

M. Wemyss. Flops and Clusters in the Homological Minimal Model Program. arXiv: 1411.7189.