Gillespie の [Gila] の Introduction によると, Cartan-Eilenberg 流の derived functor
の構成がうまくいかない場合に, ホモロジー代数を行なうために Grothendieck が考え出したのが derived category
らしい。
Abelian category が与えられた時, その chain complex の成す圏から triangulated category
を作ることができる。その triangulated category を元の Abelian category の derived category
という。どういう種類の chain complex を考えるか (bounded か否かなど) によりいくつかの種類の derived category
ができる。
この Abelian category の derived category が基本であるが, 最近では Abelian category
以外からでも似たような操作でできる triangulated category のことを derived category と呼ぶようである。
Abelian category の derived category については, Gel\('\)fand と Manin の教科書 [GM99]
がある。Derived category を導入するための motivation が Chapter 4 の §1.2 に書いてある。また簡単な入門としては,
[Tho01] がある。Krause の2004年の Chicago での summer school の lecture note [Kra07a]
は簡潔によくまとまっていて, お勧めである。より新しい話題, 例えば, Brown の表現定理 や dg category の derived
category などについても書いてある。Exercise が [Kra07b] として出ている。
一見異なる対象に対し, それらからできる derived category が同値になることがある。とくに様々な duality を derived
category の同値としてみる, というのは重要な視点である。この手のことについては Hille と Van den Bergh の [HB]
をみるとよい。そこには以下のような例が挙げてある:
- sphere bundle 上の層とその dual bundle 上の層の derived category の Fourier-Sato
transform [SKK73]
- Abelian variety とその dual の上の coherent sheaf の derived category の間の
Fourier-Mukai transform による同値 [Muk81]
- Beilinson による \(P^n\) 上の層とある有限次元代数の derived category の同値 [Beı̆84]
- tilting による有限次元代数の derived equivalence [Hap88]
- Kontsevich の homological mirror symmetry
- Riemann-Hilbert correspondence [Kas84; Meb84b; Meb84a]
逆に, derived category の間の同値を与える functor が, もとの Abelian category,
あるいはそのもとになった幾何学的対象に関する情報から作られているか, という問題も考えられる。例えば smooth projective variety
の coherent sheaf の derived category の場合は, Orlov [Orl97] により調べられている。多くの場合,
Fourier-Mukai transform により与えられるようである。
このように, 導来同値の問題は, 代数幾何学や表現論で, よく調べられている。 これらの derived category を,
その元になっている幾何学的あるいは代数的対象の, triangulated category に値を持つ不変量として見ているわけである。 そして, 更に,
トポロジーで位相空間を調べるときのように, derived category の不変量を考えることも行なわれている。
例えば, そのような不変量として Picard group を定義することもできる。 Yekutieli [Yek99]や Rouquier と
Zimmermann [RZ03] により考えられている。 Miyachi と Yekutieli [MY01] は, 代数的閉体上の hereditary
algebra の場合について調べている。
他に, Bridgeland の stability condition の空間も, そのような不変量の一つである。
有理ホモトピー論の視点からは, 空間とは, differential graded commutative algebra のことである。
よって, その derived category を考えることは自然である。そのように考えると, derived category
の不変量から位相空間の不変量が得られる。それを調べたのが, Jørgensenの[Jor; Jør06] である。また Kuribayashi は,
Avramov らが [Avr+10] で導入した triangulated category の object の level という概念を用いて,
[Kurb; Kura] である空間 \(X\) 上の空間に対する不変量を導入した。
また Abelian category や triangulated category の不変量として Hall algebra というものがある。
他には derived category の自己同型の成す群なども調べられている。 具体例としては, Ishii と Uehara の [IU] や
Bridgeland の [Bri09] を見るとよい。
Coherent sheaf の derived category に exceptional collection (sequence)
という object の族があると, それからquiverが定義できる。 これは Bondal の [Bon90] による構成であるが,
重要なことは, その quiver から元の derived category が再構築できるということである。つまり, そのquiver の表現の
derived category が, 元のcoherent sheaf の derived category と同値になる。その quiver
の表現の moduli空間と元の代数多様体の関係を考えたのが, Bergman と Proudfoot の [BPb; BPa]
である。
代数多様体を, その上の coherent sheaf の derived category から再構成するという問題は, Bondal と Orlov
の [BO01] でも考えられている。
関連した概念として, dg category (differential graded category) の概念がある。 Abelian category
の derived category を定義するときに, quasi-isomorphism を可逆にして, triangulated category
にする前の段階は, dg category である。 Derived category にすることで失なわれる情報を調べるために, dg category
の段階で考えることを提案したのは, Bondal と Kapranov [BK90] である。
そのような triangulated category を構成する一つ前の段階のものを, enhanced triangulated category
と呼ぶ。 Bondal と Kapranov は dg category を用いたが, ホモトピー論の立場からは, やはり model category
を考えたくなる。それについては, Gillespie の [Gila] などがある。Gillespie は [Gilb] では, Murfet の thesis
で導入された scheme 上の quasicoherent sheaf の成す “mock homotopy category of projectives”
の元になる model structure を構成している。
- mock homotopy category of projectives
Murfet の thesis は quasicoherent sheaf の category が一般には enough projectives
を持たないことから, projective object の成す chain complex の homotopy category
の代わりになるものとして導入された。 Murfet の thesis は彼の website から download できる。
別の approach としては, Lurie の derived \(\infty \)-category がある。 Abelian category から stable
\(\infty \)-category を作ることができるのである。
References
-
[Avr+10]
-
Luchezar L. Avramov, Ragnar-Olaf Buchweitz, Srikanth B. Iyengar,
and Claudia Miller. “Homology of perfect complexes”. In: Adv.
Math. 223.5 (2010), pp. 1731–1781. arXiv: math/0609008. url:
http://dx.doi.org/10.1016/j.aim.2009.10.009.
-
[Beı̆84]
-
A. A. Beı̆linson. “The derived category of coherent sheaves on
\(\mathbf{P}^{n}\)”. In: Selecta Math. Soviet. 3.3 (1983/84). Selected translations,
pp. 233–237.
-
[BK90]
-
A. I. Bondal and M. M. Kapranov. “Framed triangulated categories”.
In: Mat. Sb. 181.5 (1990), pp. 669–683.
-
[BO01]
-
Alexei Bondal and Dmitri Orlov. “Reconstruction of a variety from
the derived category and groups of autoequivalences”. In: Compositio
Math. 125.3 (2001), pp. 327–344. arXiv: alg-geom/9712029. url:
http://dx.doi.org/10.1023/A:1002470302976.
-
[Bon90]
-
A. I.
Bondal. “Helices, representations of quivers and Koszul algebras”.
In: Helices and vector bundles. Vol. 148. London Math. Soc. Lecture
Note Ser. Cambridge: Cambridge Univ. Press, 1990, pp. 75–95. url:
http://dx.doi.org/10.1017/CBO9780511721526.008.
-
[BPa]
-
Aaron Bergman and Nicholas J. Proudfoot. Moduli spaces for Bondal
quivers. arXiv: math/0512166.
-
[BPb]
-
Aaron Bergman and Nicholas J. Proudfoot. Moduli Spaces for
D-branes at the Tip of a Cone. arXiv: hep-th/0510158.
-
[Bri09]
-
Tom Bridgeland. “Stability conditions and Kleinian singularities”.
In: Int. Math. Res. Not. IMRN 21 (2009), pp. 4142–4157. arXiv:
math/0508257.
-
[Gila]
-
James Gillespie. A Quillen Approach to Derived Categories and
Tensor Products. arXiv: math/0607769.
-
[Gilb]
-
James Gillespie. Models for mock homotopy categories of projectives.
arXiv: 1412.4082.
-
[GM99]
-
S. I. Gelfand and Yu. I. Manin. Homological algebra. Translated from
the 1989 Russian original by the authors, Reprint of the original
English edition from the series Encyclopaedia of Mathematical
Sciences [ıt Algebra, V, Encyclopaedia Math. Sci., 38, Springer,
Berlin, 1994; MR1309679 (95g:18007)]. Berlin: Springer-Verlag,
1999, pp. iv+222. isbn: 3-540-65378-3.
-
[Hap88]
-
Dieter Happel. Triangulated categories in the representation theory
of finite-dimensional algebras. Vol. 119. London
Mathematical Society Lecture Note Series. Cambridge University
Press, Cambridge, 1988, pp. x+208. isbn: 0-521-33922-7. url:
http://dx.doi.org/10.1017/CBO9780511629228.
-
[HB]
-
Lutz Hille and Michel Van den Bergh. Fourier-Mukai Transforms.
arXiv: math/0402043.
-
[IU]
-
Akira Ishii and Hokuto Uehara. Autoequivalences of derived
categories on the minimal resolutions of \(A_n\)-singularities on surfaces.
arXiv: math/0409151.
-
[Jor]
-
Peter Jorgensen. Auslander-Reiten triangles and quivers over
topological spaces. arXiv: math/0304079.
-
[Jør06]
-
Peter Jørgensen. “The
Auslander-Reiten quiver of a Poincaré duality space”. In: Algebr.
Represent. Theory 9.4 (2006), pp. 323–336. arXiv: math/0304080.
url: http://dx.doi.org/10.1007/s10468-006-9007-4.
-
[Kas84]
-
Masaki Kashiwara. “The Riemann-Hilbert problem for holonomic
systems”. In: Publ. Res. Inst. Math. Sci. 20.2 (1984), pp. 319–365.
url: http://dx.doi.org/10.2977/prims/1195181610.
-
[Kra07a]
-
Henning Krause. “Derived categories, resolutions, and Brown
representability”. In: Interactions between homotopy theory and
algebra. Vol. 436. Contemp. Math. Providence, RI: Amer.
Math. Soc., 2007, pp. 101–139. arXiv: math/0511047. url:
http://dx.doi.org/10.1090/conm/436/08405.
-
[Kra07b]
-
Henning Krause. “Exercises on derived categories, resolutions,
and Brown representability”. In: Interactions between homotopy
theory and algebra. Vol. 436. Contemp. Math. Providence, RI:
Amer. Math. Soc., 2007, pp. 141–145. arXiv: math/0609479. url:
http://dx.doi.org/10.1090/conm/436/08406.
-
[Kura]
-
Katsuhiko Kuribayashi. On the levels of maps and topological
realization of objects in a triangulated category. arXiv: 1102.3271.
-
[Kurb]
-
Katsuhiko Kuribayashi. Upper and lower bounds of the (co)chain
type level of a space. arXiv: 1006.2669.
-
[Meb84a]
-
Z. Mebkhout. “Une autre équivalence de catégories”. In: Compositio
Math. 51.1 (1984), pp. 63–88.
-
[Meb84b]
-
Z. Mebkhout. “Une équivalence de catégories”. In: Compositio Math.
51.1 (1984), pp. 51–62.
-
[Muk81]
-
Shigeru Mukai. “Duality between \(D(X)\) and \(D(\hat X)\) with its application to
Picard sheaves”. In: Nagoya Math. J. 81 (1981), pp. 153–175. url:
http://projecteuclid.org/euclid.nmj/1118786312.
-
[MY01]
-
Jun-ichi Miyachi and Amnon Yekutieli. “Derived Picard groups of
finite-dimensional hereditary algebras”. In: Compositio Math. 129.3
(2001), pp. 341–368. url:
http://dx.doi.org/10.1023/A:1012579131516.
-
[Orl97]
-
D. O. Orlov. “Equivalences of derived categories and \(K3\) surfaces”.
In: J. Math. Sci. (New York) 84.5 (1997). Algebraic geometry, 7,
pp. 1361–1381. arXiv: alg-geom/9606006.
-
[RZ03]
-
Raphaël Rouquier and Alexander Zimmermann. “Picard groups for
derived module categories”. In: Proc. London Math. Soc. (3) 87.1
(2003), pp. 197–225. url:
http://dx.doi.org/10.1112/S0024611503014059.
-
[SKK73]
-
Mikio Sato, Takahiro Kawai,
and Masaki Kashiwara. “Microfunctions and pseudo-differential
equations”. In: Hyperfunctions and pseudo-differential equations
(Proc. Conf., Katata, 1971; dedicated to the memory of André
Martineau). Berlin: Springer, 1973, 265–529. Lecture Notes in Math.,
Vol. 287.
-
[Tho01]
-
R. P. Thomas. “Derived categories for the working mathematician”.
In: Winter School on Mirror Symmetry, Vector Bundles and
Lagrangian Submanifolds (Cambridge, MA, 1999). Vol. 23. AMS/IP
Stud. Adv. Math. Amer. Math. Soc., Providence, RI, 2001,
pp. 349–361. arXiv: math/0001045.
-
[Yek99]
-
Amnon Yekutieli. “Dualizing complexes, Morita equivalence and
the derived Picard group of a ring”. In: J. London Math.
Soc. (2) 60.3 (1999), pp. 723–746. arXiv: math/9810134. url:
http://dx.doi.org/10.1112/S0024610799008108.
|