May のrecognition principle のように, ある空間 \(X\) が \(n\)重ループ空間であることを示すということは, \[ X \simeq \Omega ^nB^nX \] となる空間 \(B^nX\)
を作ることである。このようなものを systematic に作る方法を delooping machine と言ったりする。
\(n\)重ループ空間については, Badzioch と Chung と Voronov [BCV07] によって, 新しい delooping
machine が発見されている。
- Badzioch-Chung-Voronov machine
より一般の写像空間 \(\mathrm{Map}(A,X)\) について, \(A\) がある条件をみたせば, そのような写像空間を detect する Lawvere theory が存在することを,
Sartwell [Sar] が示している。特に, 素数で localize した球面で使えるようである。
無限ループ空間の場合は, delooping machine は connective spectrum を作るものであり, infinite loop
machine と呼ばれる。 特に, algebraic \(K\)-theory の要請から, 1970年代に様々な infinite loop machine
が発見された。 積構造を含めたものもある。 最近も新しいものが発見されている。
-
Segal の \(\Gamma \)-space ([Seg74])
- permutative category による May の infinite loop machine
- bipermutative category と \(E_{\infty }\)-ring space ([May09])
- fibered symmetric bimonoidal category と \(E_{\infty }\)-ring spectrum ([Gom])
- \(\Gamma \)-space を用いたもの ([Lyd99])
- commutative \(\mathbb{I}\)-monoid を用いたもの (Adem, Gómez, Lind, Tillmann の [Ade+])
- symmetric monoidal bicategory に基づいたもの (Osorno の [Oso12])
May と Thomason により, 古典的な infinite loop machine は同等であることが示されている。また,
Thomason は, 全ての connective spectrum, つまり infinite loop space が symmetric monoidal
category で実現できることを [Tho95] で示している。Mandell [Man10] による構成もある。
Spectrum の category は symmetric monoidal structure を持つことから, symmetric monoidal
category の category に, 対応する symmetric monoidal structure があるだろうと考えるのは自然である。
それについては, Schmitt の [Sch] がある。 Gurski と Johnson と Osorno [GJO] は symmetric
monoidal category を symmetric monoidal bicategory に拡張している。それでもできるのは connective
spectrum の category であるが。そのような拡張を考える理由は, 自然に現れる例が 2-categorical な構造を持つから,
だそうである。
Lydakis の構成 [Lyd99] は, \(\F _1\) 上の代数幾何に使えるようである。Connes と Consani [CC16] は, 基点付
き集合の圏の \(\Gamma \)-object の圏の monoid object を Dundas と Goodwillie と McCarthy の本 [DGM13]
に従って \(S\)-algebra と呼んで, それを用いて \(\Spec (\Z )\) のコンパクト化を定義している。
Adem ら [Ade+] は, \(\mathrm{BU}\) などの \(K\)-theory に関係した infinite loop space に, infinite loop spaceによる
filtrationを 定義するための道具として commutative \(\mathbb{I}\)-monoidを用いている。 更に ring spectrum を得るための
commutative \(\mathbb{I}\)-rig という構造も考えている。
\(1\)重loop machine, つまり delooping machine の一意性については, Thomason の結果がある。
- 各種 infinite loop machine が同等であること。[MT78]
- (\(1\)重) delooping machine の一意性 [Tho79]
Segal の \(\Gamma \)-space とよく似た手法で generalized Eilenberg-Mac Lane 空間を特徴付ける [Bad01]
こともできる。より一般に algebraic theory というものを用いて, 各種のホモトピー構造を特徴付けるという試みがある。Badzioch の
[Bad02; Bad05] である。
群の作用を考えるために, \(\Gamma \)-space の equivariant版も考えられている。例えば, Shimakawa の [Shi89]
や Santhanamの [Sanb], Bergner と Hackney の [BH], そして Ostermayr の [Ost]
などがある。Ostermayr によると Segal 自身も考えていたようである。未発表であるが。 Santhanam は, model
category の構造を考えている。Ostermayr は, monoidal structure を考えている。
- equivariant \(\Gamma \)-space
Ostermayr [Ost] は equivariant \(\Gamma \)-space の category が, equivariant connective
symmetric spectrum の categoryと (適当な model structure の下で) Quillen同値であることを示しているが,
Santhanam [Sana] は, equivariant connective orthogonal spectrum の categoryとも
Quillen同値であることを示している。
\(n\)重delooping machine は, 基点付き位相空間の圏から\(n\)重ループ空間の圏への \(\Omega ^n\) という functor の逆である。よって\(n\)重
delooping machine を考える際には, \(n\)重ループ空間の圏をまず理解することが重要である。C. Berger は, [Ber07]
で\(n\)重ループ空間の圏のモデルとなる圏の公理と なるべき条件を考えている。その際, (co)simplicial object を定義するときの small
category \(\Delta \) の iterated wreath product である \(\Theta _n\) という small category を用いている。これは Joyal の
preprint により導入されたものらしい。
Heuts は, [Heu] で \(\infty \)-operad に対する拡張を考えている。Operad に関連したものとしては, Bašić と Nikolaus
の [BN] による dendroidal set を用いたものもある。 彼等は, dendroidal set の圏に model structure を定義し,
そのホモトピー圏が connective spectrum のホモトピー圏と同値であることを示している。よって, 任意の無限ループ空間が
dendroidal set を用いて構成できるこ とになる。
References
-
[Ade+]
-
Alejandro Adem, José Manuel Gómez, John A. Lind, and
Ulrike Tillmann. Infinite loop spaces and nilpotent \(K\)-theory. arXiv:
1503.02526.
-
[Bad01]
-
Bernard Badzioch.
“Recognition principle for generalized Eilenberg-Mac Lane spaces”.
In: Cohomological methods in homotopy theory (Bellaterra, 1998).
Vol. 196. Progr. Math. Basel: Birkhäuser, 2001, pp. 21–26.
-
[Bad02]
-
Bernard Badzioch. “Algebraic theories in homotopy theory”. In:
Ann. of Math. (2) 155.3 (2002), pp. 895–913. arXiv: math/0110101.
url: http://dx.doi.org/10.2307/3062135.
-
[Bad05]
-
Bernard Badzioch. “From \(\Gamma \)-spaces to algebraic theories”. In: Trans.
Amer. Math. Soc.
357.5 (2005), 1779–1799 (electronic). arXiv: math/0306010. url:
http://dx.doi.org/10.1090/S0002-9947-04-03711-0.
-
[BCV07]
-
Bernard Badzioch, Kuerak Chung, and Alexander A. Voronov. “The
canonical delooping machine”. In: J. Pure
Appl. Algebra 208.2 (2007), pp. 531–540. arXiv: math/0403098. url:
http://dx.doi.org/10.1016/j.jpaa.2006.01.014.
-
[Ber07]
-
Clemens Berger. “Iterated wreath product of the simplex category
and iterated loop spaces”. In: Adv. Math. 213.1 (2007), pp. 230–270.
arXiv: math/0512575. url:
http://dx.doi.org/10.1016/j.aim.2006.12.006.
-
[BH]
-
Julia E. Bergner and Philip Hackney. Diagrams encoding group
actions on \(\Gamma \)-spaces. arXiv: 1212.4542.
-
[BN]
-
Matija Bašić and Thomas Nikolaus. Dendroidal sets as models for
connective spectra. arXiv: 1203.6891.
-
[CC16]
-
Alain Connes and Caterina Consani. “Absolute algebra and Segal’s
\(\Gamma \)-rings: au
dessous de \(\overline{\mathrm{Spec}(\Z )}\)”. In: J. Number Theory 162 (2016), pp. 518–551. arXiv:
1502.05585. url: https://doi.org/10.1016/j.jnt.2015.12.002.
-
[DGM13]
-
Bjørn Ian Dundas, Thomas G. Goodwillie, and Randy McCarthy.
The local structure of algebraic K-theory. Vol. 18. Algebra
and Applications. Springer-Verlag London, Ltd., London, 2013,
pp. xvi+435. isbn: 978-1-4471-4392-5; 978-1-4471-4393-2.
-
[GJO]
-
Nick Gurski, Niles Johnson, and Angélica M. Osorno. \(K\)-theory for
\(2\)-categories. arXiv: 1503.07824.
-
[Gom]
-
Jose Manuel Gomez. From fibered symmetric bimonoidal categories
to symmetric spectra. arXiv: 0905.3156.
-
[Heu]
-
Gijs Heuts. An infinite loop space machine for infinity-operads.
arXiv: 1112.0625.
-
[Lyd99]
-
Manos Lydakis. “Smash products and \(\Gamma \)-spaces”. In: Math.
Proc. Cambridge Philos. Soc. 126.2 (1999), pp. 311–328. url:
http://dx.doi.org/10.1017/S0305004198003260.
-
[Man10]
-
Michael A. Mandell. “An inverse \(K\)-theory functor”. In: Doc. Math. 15
(2010), pp. 765–791. arXiv: 1002.3622.
-
[May09]
-
J. P. May. “The construction of \(E_{\infty }\) ring spaces from bipermutative
categories”. In: New topological contexts for Galois theory and
algebraic geometry (BIRS 2008). Vol. 16. Geom. Topol. Monogr.
Geom. Topol. Publ., Coventry, 2009, pp. 283–330. arXiv: 0903.2818.
url: http://dx.doi.org/10.2140/gtm.2009.16.283.
-
[MT78]
-
J. P. May and R. Thomason. “The uniqueness of infinite loop
space machines”. In: Topology 17.3 (1978), pp. 205–224. url:
http://dx.doi.org/10.1016/0040-9383(78)90026-5.
-
[Oso12]
-
Angélica M.
Osorno. “Spectra associated to symmetric monoidal bicategories”.
In: Algebr. Geom. Topol. 12.1 (2012), pp. 307–342. arXiv: 1005.2227.
url: https://doi.org/10.2140/agt.2012.12.307.
-
[Ost]
-
Dominik Ostermayr. Equivariant \(Γ\)-spaces. arXiv: 1404.7626.
-
[Sana]
-
Rekha Santhanam. A short treatise on Equivariant Gamma spaces.
arXiv: 1505.02894.
-
[Sanb]
-
Rekha Santhanam. Units of equivariant ring spectra. arXiv:
0912.4346.
-
[Sar]
-
Matthew Sartwell. A \(P\)-local Delooping Machine. arXiv: 1510.08404.
-
[Sch]
-
Vincent Schmitt. Tensor product for symmetric monoidal categories.
arXiv: 0711.0324.
-
[Seg74]
-
Graeme Segal. “Categories and cohomology theories”. In: Topology
13 (1974), pp. 293–312. url:
https://doi.org/10.1016/0040-9383(74)90022-6.
-
[Shi89]
-
Kazuhisa Shimakawa. “Infinite loop \(G\)-spaces associated to monoidal
\(G\)-graded
categories”. In: Publ. Res. Inst. Math. Sci. 25.2 (1989), pp. 239–262.
url: http://dx.doi.org/10.2977/prims/1195173610.
-
[Tho79]
-
R. W. Thomason. “Uniqueness
of delooping machines”. In: Duke Math. J. 46.2 (1979), pp. 217–252.
url: http://projecteuclid.org/euclid.dmj/1077313403.
-
[Tho95]
-
R. W. Thomason. “Symmetric monoidal categories model all
connective spectra”. In: Theory Appl. Categ. 1 (1995), No. 5, 78–118
(electronic).
|