Delooping Machine

May のrecognition principle のように, ある空間 \(X\) が \(n\)重ループ空間であることを示すということは, \[ X \simeq \Omega ^nB^nX \] となる空間 \(B^nX\) を作ることである。このようなものを systematic に作る方法を delooping machine と言ったりする。

\(n\)重ループ空間については, Badzioch と Chung と Voronov [BCV07] によって, 新しい delooping machine が発見されている。

  • Badzioch-Chung-Voronov machine

より一般の写像空間 \(\mathrm{Map}(A,X)\) について, \(A\) がある条件をみたせば, そのような写像空間を detect する Lawvere theory が存在することを, Sartwell [Sar] が示している。特に, 素数で localize した球面で使えるようである。

無限ループ空間の場合は, delooping machine は connective spectrum を作るものであり, infinite loop machine と呼ばれる。 特に, algebraic \(K\)-theory の要請から, 1970年代に様々な infinite loop machine が発見された。 積構造を含めたものもある。 最近も新しいものが発見されている。

  • Segal の \(\Gamma \)-space ([Seg74])
  • permutative category による May の infinite loop machine
  • bipermutative category と \(E_{\infty }\)-ring space ([May09])
  • fibered symmetric bimonoidal category と \(E_{\infty }\)-ring spectrum ([Gom])
  • \(\Gamma \)-space を用いたもの ([Lyd99])
  • commutative \(\mathbb{I}\)-monoid を用いたもの (Adem, Gómez, Lind, Tillmann の [Ade+])
  • symmetric monoidal bicategory に基づいたもの (Osorno の [Oso12])

May と Thomason により, 古典的な infinite loop machine は同等であることが示されている。また, Thomason は, 全ての connective spectrum, つまり infinite loop space が symmetric monoidal category で実現できることを [Tho95] で示している。Mandell [Man10] による構成もある。

Spectrum の category は symmetric monoidal structure を持つことから, symmetric monoidal category の category に, 対応する symmetric monoidal structure があるだろうと考えるのは自然である。 それについては, Schmitt の [Sch] がある。 Gurski と Johnson と Osorno [GJO] は symmetric monoidal category を symmetric monoidal bicategory に拡張している。それでもできるのは connective spectrum の category であるが。そのような拡張を考える理由は, 自然に現れる例が 2-categorical な構造を持つから, だそうである。

Lydakis の構成 [Lyd99] は, \(\F _1\) 上の代数幾何に使えるようである。Connes と Consani [CC16] は, 基点付 き集合の圏の \(\Gamma \)-object の圏の monoid object を Dundas と Goodwillie と McCarthy の本 [DGM13] に従って \(S\)-algebra と呼んで, それを用いて \(\Spec (\Z )\) のコンパクト化を定義している。

Adem ら [Ade+] は, \(\mathrm{BU}\) などの \(K\)-theory に関係した infinite loop space に, infinite loop spaceによる filtrationを 定義するための道具として commutative \(\mathbb{I}\)-monoidを用いている。 更に ring spectrum を得るための commutative \(\mathbb{I}\)-rig という構造も考えている。

\(1\)重loop machine, つまり delooping machine の一意性については, Thomason の結果がある。

  • 各種 infinite loop machine が同等であること。[MT78]
  • (\(1\)重) delooping machine の一意性 [Tho79]

Segal の \(\Gamma \)-space とよく似た手法で generalized Eilenberg-Mac Lane 空間を特徴付ける [Bad01] こともできる。より一般に algebraic theory というものを用いて, 各種のホモトピー構造を特徴付けるという試みがある。Badzioch の [Bad02; Bad05] である。

群の作用を考えるために, \(\Gamma \)-space の equivariant版も考えられている。例えば, Shimakawa の [Shi89] や Santhanamの [Sanb], Bergner と Hackney の [BH], そして Ostermayr の [Ost] などがある。Ostermayr によると Segal 自身も考えていたようである。未発表であるが。 Santhanam は, model category の構造を考えている。Ostermayr は, monoidal structure を考えている。

  • equivariant \(\Gamma \)-space

Ostermayr [Ost] は equivariant \(\Gamma \)-space の category が, equivariant connective symmetric spectrum の categoryと (適当な model structure の下で) Quillen同値であることを示しているが, Santhanam [Sana] は, equivariant connective orthogonal spectrum の categoryとも Quillen同値であることを示している。

\(n\)重delooping machine は, 基点付き位相空間の圏から\(n\)重ループ空間の圏への \(\Omega ^n\) という functor の逆である。よって\(n\)重 delooping machine を考える際には, \(n\)重ループ空間の圏をまず理解することが重要である。C. Berger は, [Ber07] で\(n\)重ループ空間の圏のモデルとなる圏の公理と なるべき条件を考えている。その際, (co)simplicial object を定義するときの small category \(\Delta \) の iterated wreath product である \(\Theta _n\) という small category を用いている。これは Joyal の preprint により導入されたものらしい。

Heuts は, [Heu] で \(\infty \)-operad に対する拡張を考えている。Operad に関連したものとしては, Bašić と Nikolaus の [BN] による dendroidal set を用いたものもある。 彼等は, dendroidal set の圏に model structure を定義し, そのホモトピー圏が connective spectrum のホモトピー圏と同値であることを示している。よって, 任意の無限ループ空間が dendroidal set を用いて構成できるこ とになる。

References

[Ade+]

Alejandro Adem, José Manuel Gómez, John A. Lind, and Ulrike Tillmann. Infinite loop spaces and nilpotent \(K\)-theory. arXiv: 1503.02526.

[Bad01]

Bernard Badzioch. “Recognition principle for generalized Eilenberg-Mac Lane spaces”. In: Cohomological methods in homotopy theory (Bellaterra, 1998). Vol. 196. Progr. Math. Basel: Birkhäuser, 2001, pp. 21–26.

[Bad02]

Bernard Badzioch. “Algebraic theories in homotopy theory”. In: Ann. of Math. (2) 155.3 (2002), pp. 895–913. arXiv: math/0110101. url: http://dx.doi.org/10.2307/3062135.

[Bad05]

Bernard Badzioch. “From \(\Gamma \)-spaces to algebraic theories”. In: Trans. Amer. Math. Soc. 357.5 (2005), 1779–1799 (electronic). arXiv: math/0306010. url: http://dx.doi.org/10.1090/S0002-9947-04-03711-0.

[BCV07]

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[Ber07]

Clemens Berger. “Iterated wreath product of the simplex category and iterated loop spaces”. In: Adv. Math. 213.1 (2007), pp. 230–270. arXiv: math/0512575. url: http://dx.doi.org/10.1016/j.aim.2006.12.006.

[BH]

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[BN]

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[CC16]

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[DGM13]

Bjørn Ian Dundas, Thomas G. Goodwillie, and Randy McCarthy. The local structure of algebraic K-theory. Vol. 18. Algebra and Applications. Springer-Verlag London, Ltd., London, 2013, pp. xvi+435. isbn: 978-1-4471-4392-5; 978-1-4471-4393-2.

[GJO]

Nick Gurski, Niles Johnson, and Angélica M. Osorno. \(K\)-theory for \(2\)-categories. arXiv: 1503.07824.

[Gom]

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[Heu]

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[Lyd99]

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[May09]

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[MT78]

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[Oso12]

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[Ost]

Dominik Ostermayr. Equivariant \(Γ\)-spaces. arXiv: 1404.7626.

[Sana]

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[Sanb]

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[Sar]

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[Sch]

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[Seg74]

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[Shi89]

Kazuhisa Shimakawa. “Infinite loop \(G\)-spaces associated to monoidal \(G\)-graded categories”. In: Publ. Res. Inst. Math. Sci. 25.2 (1989), pp. 239–262. url: http://dx.doi.org/10.2977/prims/1195173610.

[Tho79]

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[Tho95]

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