Conformal net という概念がある。\(S^1\) 上の open interval に対し, von Neumann algebra
を対応させる規則であり, \(S^1\) 上の open interval の成す poset 上で定義された functor と思うことができる。
Longo や Xu ら [KLM01; KLX05; DX06] により, orbifold 上の conformal field theory
を調べるのに用いられている。
一方, conformal field theory を構成する方法として, vertex operator algebra の表現を用いる方法もある。その
vertex operator algebra との関係については, Carpi, Kawahigashi, Longo, Weiner の [Car+]
がある。 Kawahigashi の lecture note [Kaw15] も見るとよい。
これらの文献では, Hilbert空間 \(H\) を fix し, \(B(H)\) に含まれる von Neumann algebraだけ を考えているが, Bartels と
Chris Douglas と Henriques の [BDHb] では, Hilbert 空間を指定しない “coordinate free version”
が定義されている。また, conformal net を object とする tricategory が構成されている。また, [BDHa] では,
conformal net に対し conformal block の成す bundle が定義されている。
Chris Douglas と Henriques [DH] は, elliptic cohomology の構成に用いようとしている。
References
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[BDHa]
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Arthur Bartels, Christopher L. Douglas, and André Henriques.
Conformal nets II: conformal blocks. arXiv: 1409.8672.
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[BDHb]
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Arthur Bartels, Christopher L. Douglas, and André G. Henriques.
Conformal nets and local field theory. arXiv: 0912.5307.
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[Car+]
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Sebastiano Carpi, Yasuyuki Kawahigashi, Roberto Longo, and
Mihály Weiner. From vertex operator algebras to conformal nets and
back. arXiv: 1503.01260.
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[DH]
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Christopher L. Douglas and André G. Henriques. Topological
modular forms and conformal nets. arXiv: 1103.4187.
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[DX06]
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Chongying Dong and Feng
Xu. “Conformal nets associated with lattices and their orbifolds”. In:
Adv. Math. 206.1 (2006), pp. 279–306. arXiv: math/0411499. url:
https://doi.org/10.1016/j.aim.2005.08.009.
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[Kaw15]
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Yasuyuki Kawahigashi.
“Conformal field theory, tensor categories and operator algebras”. In:
J. Phys. A 48.30 (2015), pp. 303001, 57. arXiv: 1503.05675. url:
https://doi.org/10.1088/1751-8113/48/30/303001.
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[KLM01]
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Yasuyuki Kawahigashi,
Roberto Longo, and Michael Müger. “Multi-interval subfactors and
modularity of representations in conformal field theory”. In: Comm.
Math. Phys. 219.3 (2001), pp. 631–669. arXiv: math/9903104. url:
http://dx.doi.org/10.1007/PL00005565.
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[KLX05]
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Victor G. Kac, Roberto Longo, and
Feng Xu. “Solitons in affine and permutation orbifolds”. In: Comm.
Math. Phys. 253.3 (2005), pp. 723–764. arXiv: math/0312512. url:
http://dx.doi.org/10.1007/s00220-004-1160-1.
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