Anderson Duality

Brown と Comenetz [BC74; BC76] は, injective Abelian group \(M\) に対し, Brown の表現定理を用いて spectrum \(I_{M}\) を定義した。この \(I_{M}\) による function spectrum で定義される spectrum の対応

は, 現在 Brown-Comenetz duality と呼ばれている stable homotopy category での duality である。

Brown と Comenetz が考えたのは \(M=\Q /\Z \) の場合であるが, injective Abelian group と言われて思い浮かぶものには \(\Q \) もある。 射影 \(\Q \to \Q /\Z \) から誘導される spectrum の morphism \(I_{\Q }\to I_{\Q /\Z }\) の homotopy fiber を \(I_{\Z }\) とかくと, これは \(\Q /\Z \) と \(\Q \) の Brown-Comenetz dual の差を測るものと考えられる。

Anderson duality とは, この spectrum \(I_{\Z }\) による function spectrum

で定義される stable homotopy category での duality である。

Anderson により \(K\)-theory の universal coefficient theorem のために導入されたものであるが, Anderson の論文は, 出版されてない。 その preprint [And] は Greg Friedman の website から入手できるが。

Greenlees と Meier [GM17; GM18] では, Anderson duality について, D.W. Anderson の論文の他に Kainen の論文 [Kai71] も挙げられている。 Yamashita と Yonekura [YY23] は, Hopkins と Singer の [HS05] の Appendix B や Freed, Moore, Segal の [FMS07] の Appendix B を参照している。

Stojanoska [Sto12] は, \(\mathrm {tmf}\) が Anderson duality の意味で “self-dual” であることを, elliptic curve の moduli stack を用いて説明しようとしている。 Morava \(K\)-theory with reality の Anderson dual に関する self-duality については, Ricka の [Ric16] で調べられている。 Greenlees と Meier によると, これが \(C_2\)-equivariant spectrum について最初に調べられた場合のようである。

Anderson duality は, 数論的な文脈でも登場する。 Braunling [Bra] が, number field の ring of integers の localization \(R\) について, 有限生成 \(R\) 加群の圏の algebraic \(K\)-theory spectrum と locally compact \(R\)-module の algebraic \(K\)-theory spectrum が \(K(1)\) で localize すると Anderson dual であることを示している。

References

[And]

D.W. Anderson. Universal Coefficient Theorems for \(K\)-theory. url: http://faculty.tcu.edu/gfriedman/notes/Anderson-UCT.pdf.

[BC74]

Edgar H. Brown Jr. and Michael Comenetz. “The Pontrjagin dual of a spectrum”. In: New developments in topology (Proc. Sympos. Algebraic Topology, Oxford, 1972). London: Cambridge Univ. Press, 1974, 11–18. London Math. Soc. Lecture Note Ser., No. 11.

[BC76]

Edgar H. Brown Jr. and Michael Comenetz. “Pontrjagin duality for generalized homology and cohomology theories”. In: Amer. J. Math. 98.1 (1976), pp. 1–27. url: https://doi.org/10.2307/2373610.

[Bra]

Oliver Braunling. Local compactness as the \(K(1)\)-local dual of finite generation. arXiv: 2301.05943.

[FMS07]

Daniel S. Freed, Gregory W. Moore, and Graeme Segal. “The uncertainty of fluxes”. In: Comm. Math. Phys. 271.1 (2007), pp. 247–274. arXiv: hep-th/0605198. url: http://dx.doi.org/10.1007/s00220-006-0181-3.

[GM17]

J. P. C. Greenlees and Lennart Meier. “Gorenstein duality for real spectra”. In: Algebr. Geom. Topol. 17.6 (2017), pp. 3547–3619. arXiv: 1607.02332. url: https://doi.org/10.2140/agt.2017.17.3547.

[GM18]

John P. C. Greenlees and Lennart Meier. “Correction to the article: Gorenstein duality for real spectra [ MR3709655]”. In: Algebr. Geom. Topol. 18.5 (2018), pp. 3129–3131. url: https://doi.org/10.2140/agt.2018.18.3129.

[HS05]

M. J. Hopkins and I. M. Singer. “Quadratic functions in geometry, topology, and M-theory”. In: J. Differential Geom. 70.3 (2005), pp. 329–452. arXiv: math/0211216. url: http://projecteuclid.org/euclid.jdg/1143642908.

[Kai71]

Paul C. Kainen. “Universal coefficient theorems for generalized homology and stable cohomotopy”. In: Pacific J. Math. 37 (1971), pp. 397–407.

[Ric16]

Nicolas Ricka. “Equivariant Anderson duality and Mackey functor duality”. In: Glasg. Math. J. 58.3 (2016), pp. 649–676. arXiv: 1408.1581. url: https://doi.org/10.1017/S0017089515000397.

[Sto12]

Vesna Stojanoska. “Duality for topological modular forms”. In: Doc. Math. 17 (2012), pp. 271–311. arXiv: 1105.3968.

[YY23]

Mayuko Yamashita and Kazuya Yonekura. “Differential models for the Anderson dual to bordism theories and invertible QFT’s, I”. In: J. Gökova Geom. Topol. GGT 16 (2023), pp. 1–64. arXiv: 2106.09270.