Derived Functors

Abelian category や exact category のように完全列の概念がある圏の間の関手を調べるときは, まず完全列を保つかどうかを考えたい。 そして, \(\mathrm {Hom}\) や \(\otimes \) のように半分だけ完全性を保つ場合は, 完全性を保たない度合いを測るものとして導来関手 (derived functor) の概念が用いられる。

• left exact functor and right exact functor

このように, Abelian category やその一般化を chain complex の category に埋め込んで, そこで derived functor を定義するのが Cartan-Eilenberg 以降の古典的な ホモロジー代数の手法である。

より具体的には, projective object や injective object による resolution を取ってから, 考えている functor を適用し, それによりできた (co)chain complex の (co)homology を取る。

• projective objects and injective objects
• projective resolution and injective resolution

これらのことについては, 基本的なホモロジー代数のことが書かれている本なら, どの本にも書いてある。今でも Cartan と Eilenberg の本 [CE99] を勉強してもよいと思う。

基本的な derived functor としては \(\otimes _{R}\) と \(\mathrm {Hom}_{R}\) の derived functor である \(\mathrm {Tor}\) と \(\mathrm {Ext}\) があるが, \(\Hom \) は, 左成分で projective resolution を取っても, 右成分で injective resolution を取っても同じ derived functor を得る。 \(\Tor \) も左成分で projective resolution を取っても, 右成分で projective resolution を取っても同じ derived functor を得る。 このような functor の一般化を balanced functor として Cartan と Eilenberg が既に [CE99] で導入している。 その拡張が, Enochs と Jenda [EJ85] により定義されている。

• balanced functor

よく使われる spectral sequence の \(E^2\)-term は derived functor として書ける場合が多い。 代数的トポロジーで使われる derived functor は, このようなものが多い。 例えば以下のようなものがある。

• comodule の cotensor product の derived functor である \(\mathrm {Cotor}\) や cohom の derived functor である \(\mathrm {Coext}\)
• derived functors of limits and colimits

更に, Baues と Blanc [BBC21] は, spectral sequence の高次の項を表わすための higher derived functor を考えている。

モデル圏の枠組みを用いると, cofibrant object や fibrant object の概念が使えるので, より一般的な状況で derived functor を定義できる。これが, Quillen がモデル圏を導入した動機の一つであるが。

• total derived functor of Quillen functor

References

[BBC21]

Hans-Joachim Baues, David Blanc, and Boris Chorny. “Truncated derived functors and spectral sequences”. In: Homology Homotopy Appl. 23.1 (2021), pp. 159–189. arXiv: 1210.7437. url: https://doi.org/10.4310/hha.2021.v23.n1.a10.

[CE99]

Henri Cartan and Samuel Eilenberg. Homological algebra. Princeton Landmarks in Mathematics. With an appendix by David A. Buchsbaum, Reprint of the 1956 original. Princeton, NJ: Princeton University Press, 1999, pp. xvi+390. isbn: 0-691-04991-2.

[EJ85]

Edgar E. Enochs and Overtoun M. G. Jenda. “Balanced functors applied to modules”. In: J. Algebra 92.2 (1985), pp. 303–310. url: https://doi.org/10.1016/0021-8693(85)90122-X.