Closed category と closed monoidal category

可換環上の加群の圏や (コンパクト生成) 位相空間の圏のように, 2つの object の間の morphism 全体が, またその圏の object (internal-hom) になっている場合がある。 最初にそのような圏を closed category と名付け, その一般的な理論を構築しようとしたのは, Eilenberg と Kelly [EK66] である。

  • closed category

上に挙げたような例では, それらの圏は monoidal structure \(\otimes :\bm {V}\times \bm {V}\to \bm {V}\) を持ち, 更に internal-hom \(\Hom (x,-)\) が \((-)\otimes x:\bm {V}\to \bm {V}\) の right adjoint になっている。 このような場合を closed monoidal category という。もちろん, monoidal structure \(\otimes \) が symmetric でないときには, \(x\otimes (-)\) が right adjoint を持つこととは同値とは限らないので, 区別しなければならない。

  • symmetric closed monoidal category
  • left-closed monoidal category とright-closed monoidal category
  • Cartesian closed monoidal category

最後の Cartesian closed monoidal category とは, monoidal structure が直積で与えられる symmetric closed monoidal category のことである。

最近では, closed symmetric monoidal category で limit と colimit で閉じているものを, cosmos と呼ぶこともあるようである。Schäppi の [Sch] など。

Manzuyk [Man12] は closed category の成す \(2\)-category が closed multicategory の \(2\)-category に埋め込めることを示している。

  • closed multicategory

その Manzyuk の論文によると, closed multicategory の定義が最初に現れた文献は, Bespalov, Lyubashenko との [BLM08] らしい。

Closed category を closed monoidal category に fully faithful に埋め込めることには, Laplaza [Lap77] により証明されている。

Compact closed category は, Kelly により [Kel72] で定義され, Kelly と Laplaza により [KL80] で調べられている。 Houston の [Hou] によると, computer science, より正確には quantum information [AC] で使われるようになったらしい。

  • compact closed category

References

[AC]

Samson Abramsky and Bob Coecke. A categorical semantics of quantum protocols. arXiv: quant-ph/0402130.

[BLM08]

Yu. Bespalov, V. Lyubashenko, and O. Manzyuk. Pretriangulated \(A_{\infty }\)-categories. Vol. 76. Proceedings of Institute of Mathematics of NAS of Ukraine. Mathematics and its Applications. Natsı̄onal\('\)na Akademı̄ya Nauk Ukraı̈ni, Īnstitut Matematiki, Kiev, 2008, p. 599. isbn: 978-966-02-4861-8.

[EK66]

Samuel Eilenberg and G. Max Kelly. “Closed categories”. In: Proc. Conf. Categorical Algebra (La Jolla, Calif., 1965). New York: Springer, 1966, pp. 421–562.

[Hou]

Robin Houston. Finite Products are Biproducts in a Compact Closed Category. arXiv: math/0604542.

[Kel72]

G. M. Kelly. “Many-variable functorial calculus. I”. In: Coherence in categories. Berlin: Springer, 1972, 66–105. Lecture Notes in Math., Vol. 281.

[KL80]

G. M. Kelly and M. L. Laplaza. “Coherence for compact closed categories”. In: J. Pure Appl. Algebra 19 (1980), pp. 193–213. url: http://dx.doi.org/10.1016/0022-4049(80)90101-2.

[Lap77]

Miguel L. Laplaza. “Embedding of closed categories into monoidal closed categories”. In: Trans. Amer. Math. Soc. 233 (1977), pp. 85–91. url: https://doi.org/10.2307/1997823.

[Man12]

Oleksandr Manzyuk. “Closed categories vs. closed multicategories”. In: Theory Appl. Categ. 26 (2012), No. 5, 132–175. arXiv: 0904.3137.

[Sch]

Daniel Schäppi. The formal theory of Tannaka duality. arXiv: 1112. 5213.