Topological Quantum Field Theories

Topological quantum field theory (TQFT) については, まず Atiyah の [Ati88] がある。 物理の人の書いた解説もいくつかあるが, 数学者にとって分りやすいとは言えない。最近のものでは Brunetti と Fredenhagen の [BF] がある。Elsevier の Encyclopedia of Mathematical Physics の文章らしい。他にはちょっと古いが Dijkgraaf の講演緑 [Dij] も詳しい。Joachim Kock の [Koc04] という本もある。Orbifold も絡めて書いてあるものとして, Lupercio と Uribe の [LU] もよい。 Freed は [Fre14] で ここで見ることができる Segal の 2011年の講演のビデオを参照している。

TQFT は, cobordism category から symmetric monoidal category への symmetric monoidal functor であるが, 基本的なのは, 値域の圏が, ある可換環上の module の圏の場合である。 その場合, その環の代数的性質とも関係している。また, 低次元の TQFT については, ある種の代数から構成しようという試みもある。

Ground ring の環論的性質と TQFT の性質については, Gilmer の [Gil04] という論文がある。ここで, TQFT に対し “almost integral” という概念が定義された。 Reshetikhin-Turaev invariant の拡張である TQFT について, その almost integrality を考えたのが, Chen と Le の [CL05] である。

ある空間上の topological quantum field theory というものもある。 Dumitrescu の [Dum] など。

Reshetikhin-Turaev invariant のような\(3\)次元多様体の不変量を TQFT に拡張しようという試みは色々ある。Kirillov と Balsam の [KB] のように, extended TQFT に拡張しようという試みもある。

3次元多様体の不変量が代数的整数になることはよくあることのようであるが, そのようなときに, 元になっている TQFT の integrality について考えるのは自然である。Gilmer の [Gil04; GM07] など。

\(4\)次元 (3+1) の場合は, trialgebra というものを使う [Pfe07], のだろうか? Crane と Frenkel は, [CF94] で\(4\)次元の TQFT を構成するために Hopf category という概念を導入している。

\(4\)次元の場合を考えて, differential TQFT というものを提案している人 [Dav] もいる。Atiyah の公理系では, 4次元多様体の smooth structure が区別できないからである。このKelly Davis の論文と関係して, MathOverflow での議論がある。それによると, 4次元で Atiyah 流の TQFT が不完全であることは, Freedman らにより既に [Fre+05] で示されていたようである。

Lurie と Hopkins によると, より詳しい情報を得るためには cobordism, つまり境界を考えるだけでなく, 境界の境界, そして境界の境界の境界 \(\cdots \) などを全て考えなければならないようである。そのような拡張された cobordism category を定義域として考える場合は, 当然値域も高次の symmetric monoidal category にしなればならない。 Lurie [Lur09] らは, そのようなものを extended topological quantum field theoryと呼んでいる。

一般化としては, 他には commutative ring spectrum 上の module category に値を持つものなどが考えられている。Hu と Kriz と Kriz の [HKK] や Kriz と Lai の [KL18] などである。

Defect を持つ TQFT というのもある。Carqueville の lecture note [Car] が分かりやすい。最初に functorial formulation が現れたのは Davydov, Kong, Runkel の [DKR11] であるが。 通常の bordism category を用いた (closed) TQFT の拡張になっているだけでなく, open/closed TQFT の拡張にもなっている。

  • bordism category with defect
  • topological quantum field theory with defect

\(2\)次元の TQFT が commutative Frobenius algebra に対応するように, \(2\)次元の open/closed TQFT が Calabi-Yau category に対応し, \(2\)次元の defect を持つ TQFT は pivotal \(2\)-category に対応するらしい。多様体を2次元のままにしても, 構造を複雑にしていくことで higher category の構造が現れるのは興味深い。 また string diagram も有効に用いられている。

具体的に扱えるものとしては, topological lattice field theory というものがある。 単体分割やより一般の多面体による分割を考えるものである。 分割を細かくしていった極限として topological quantum field theory を得ようというアイデア, らしい。

  • \(2\)次元の topological lattice field theory は semisimple associative algebra と一対一に対応する。[BP93; FHK94]

Nonorientable な surface についても定義することができる [KM]。 Group ring の場合に Mednykh の公式と呼ばれる公式が証明できる [Sny] のは面白い。

群作用がある場合も考えられている。Teleman の [Tel14] や, そこに挙げられている文献を参照のこと。 高次の圏を用いた表現論Langlands dual などが登場する。

References

[Abr99]

Lowell Abrams. “Modules, comodules, and cotensor products over Frobenius algebras”. In: J. Algebra 219.1 (1999), pp. 201–213. arXiv: math/9806044. url: http://dx.doi.org/10.1006/jabr.1999.7901.

[Ati88]

Michael Atiyah. “Topological quantum field theories”. In: Inst. Hautes Études Sci. Publ. Math. 68 (1988), 175–186 (1989). url: http://www.numdam.org/item?id=PMIHES_1988__68__175_0.

[BF]

Romeo Brunetti and Klaus Fredenhagen. Algebraic approach to Quantum Field Theory. arXiv: math-ph/0411072.

[BP93]

C. Bachas and P. M. S. Petropoulos. “Topological models on the lattice and a remark on string theory cloning”. In: Comm. Math. Phys. 152.1 (1993), pp. 191–202. arXiv: hep-th/9205031. url: http://projecteuclid.org/euclid.cmp/1104252315.

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[CF94]

Louis Crane and Igor B. Frenkel. “Four-dimensional topological quantum field theory, Hopf categories, and the canonical bases”. In: J. Math. Phys. 35.10 (1994). Topology and physics, pp. 5136–5154. url: http://dx.doi.org/10.1063/1.530746.

[CL05]

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[Fre+05]

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[Gil04]

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[HKK]

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[KL18]

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[KM]

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[Koc04]

Joachim Kock. Frobenius algebras and 2D topological quantum field theories. Vol. 59. London Mathematical Society Student Texts. Cambridge: Cambridge University Press, 2004, p. xiv 240. isbn: 0-521-83267-5; 0-521-54031-3.

[LU]

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[Lur09]

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[Pfe07]

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[Sny]

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[Tel14]

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