Dold-Thom の定理

Dold-Thom の定理 [DT58] とは, 無限対称積のホモトピー群が (整係数 reduced) ホモロジー群になるという事実である。 その元になっているのは, quasifibration に関する Dold-Thom criterion である。

• quasifibration
• Dold-Thom criterion

ホモトピー論的に代数的トポロジーを学ぼうと思ったら, Dold-Thom の定理により無限対称積のホモトピー群をホモロジーの定義にしてしまうのも, 一つの手ではある。実際にそのアプローチをとった教科書としては, Aguilar と Gitler と Prieto の [AGP02] がある。Dold と Thom の論文はドイツ語なので, ちょっと手を出しづらいが, 幸い, この本には Dold-Thom の定理の証明が英語で書いてあるので非常に助かる。

ただ, Dold と Thom による “Dold-Thom criterion” を用いた証明は煩雑であり, 無限対称積の本質的な性質を理解するのには適していない。 そこで [Tam13] で, two-sided bar construction の性質に帰着させる証明を書いた。 基点付き空間の写像 \[ X \larrow {f} Y \rarrow {g} Z \] が与えられたとき, \(M_{f,g}\) をその double mapping cylinder とすると, 列 \[ \mathrm {SP}^{\infty }(Z) \rarrow {} \mathrm {SP}^{\infty }\left (M_{f,g}\right ) \rarrow {} \mathrm {SP}^{\infty }\left (X\cup _{f} CY\right ) \] が quaisfibration になるというのが, Dold-Thom の定理であるが, two-sided bar construction を用いると, \[ \begin {split} \mathrm {SP}^{\infty }\left (M_{f,g}\right ) & \cong B_{*}(\mathrm {SP}^{\infty }(Z), \mathrm {SP}^{\infty }(X), \mathrm {SP}^{\infty }(Y)) \\ \mathrm {SP}^{\infty }\left (X\cup _{f} CY\right ) & \cong B_{*}(*, \mathrm {SP}^{\infty }(X), \mathrm {SP}^{\infty }(Y)) \end {split} \] と表すことができ, この列は \[ \mathrm {SP}^{\infty }(Z) \rarrow {} B_{*}(\mathrm {SP}^{\infty }(Z), \mathrm {SP}^{\infty }(X), \mathrm {SP}^{\infty }(Y)) \rarrow {} B_{*}(*, \mathrm {SP}^{\infty }(X), \mathrm {SP}^{\infty }(Y)) \] と同一視できる。そして, この列が quasifibration になるというのは, 一般的な topological monoid の two-sided bar construction の性質なのである。

より一般には, spectrum \(E\) が与えられたとき, \(E\) による (reduced) ホモロジーは \[ \widetilde {E}_{n}(X) = \pi _{n}(\Omega ^{\infty }(E\wedge X)) \] として定義されるが, Dold-Thom の定理は \(E\) が Eilenberg-Mac Lane spectrum の場合の \(\Omega ^{\infty }(E\wedge X)\) の構成を具体的に与えるものと, 考えることもできる。 このような視点から書かれた本として Gray の [Gra75] がある。

特に, spectrum レベルでは, Dold-Thom の定理は, 球面 spectrum の無限対称積が, 整係数 Eilenberg-Mac Lane spectrum \(H\Z \) になるということを意味するので, \(n\)次対称積 \(\mathrm {SP}^n(S)\) はその中間段階を与えることになる。Arone と Lesh は, [AL07] で connective complex K-theory spectrum と sphere spectrum の中間段階を表わす spectrum を構成し, [AL10] でその性質を調べている。 これは, 対称積の \(K\)-theory版と考えてよいのだろうか。空間レベルでは, Segal の \(K\)-homologyと関係がありそうである。

Dold-Thom の定理の類似は, Voevodsky により \(\mathbb {A}^1\)-homotopy theory の文脈でも考えられている。より一般にはGorchinskiyとGuletskiiの [GG16]がある。

Étale homotopy theoryでの Dold-Thom の定理は Tripathy [Tri16] により得られている。

群の作用があるときは, Schwede の [Sch17], Lima-Filho [Lim97], Nie [Nie07], dos Santos [San03], Aguilar と Prieto [AP11] などにより考えられている。

Hausmann と Ostermayr [HO20] は, Arone-Lesh の filtration の equivariant 版が調べられている。

References

[AGP02]

Marcelo Aguilar, Samuel Gitler, and Carlos Prieto. Algebraic topology from a homotopical viewpoint. Universitext. Translated from the Spanish by Stephen Bruce Sontz. New York: Springer-Verlag, 2002, pp. xxx+478. isbn: 0-387-95450-3.

[AL07]

Gregory Arone and Kathryn Lesh. “Filtered spectra arising from permutative categories”. In: J. Reine Angew. Math. 604 (2007), pp. 73–136. url: http://dx.doi.org/10.1515/CRELLE.2007.020.

[AL10]

Gregory Z. Arone and Kathryn Lesh. “Augmented \(\Gamma \)-spaces, the stable rank filtration, and a \(bu\) analogue of the Whitehead conjecture”. In: Fund. Math. 207.1 (2010), pp. 29–70. arXiv: 0902.2564. url: http://dx.doi.org/10.4064/fm207-1-3.

[AP11]

Marcelo A. Aguilar and Carlos Prieto. “Equivariant Dold-Thom topological groups”. In: J. Homotopy Relat. Struct. 6.2 (2011), pp. 183–209. arXiv: 1101.5724.

[DT58]

Albrecht Dold and René Thom. “Quasifaserungen und unendliche symmetrische Produkte”. In: Ann. of Math. (2) 67 (1958), pp. 239–281. url: https://doi.org/10.2307/1970005.

[GG16]

S. Gorchinskiy and V. Guletskiı̆. “Symmetric powers in abstract homotopy categories”. In: Adv. Math. 292 (2016), pp. 707–754. arXiv: 0907.0730. url: https://doi.org/10.1016/j.aim.2016.01.011.

[Gra75]

Brayton Gray. Homotopy theory. An introduction to algebraic topology, Pure and Applied Mathematics, Vol. 64. New York: Academic Press [Harcourt Brace Jovanovich Publishers], 1975, pp. xiii+368.

[HO20]

Markus Hausmann and Dominik Ostermayr. “Filtrations of global equivariant \(K\)-theory”. In: Math. Z. 295.1-2 (2020), pp. 161–210. arXiv: 1510.04011. url: https://doi.org/10.1007/s00209-019-02338-1.

[Lim97]

P. Lima-Filho. “On the equivariant homotopy of free abelian groups on \(G\)-spaces and \(G\)-spectra”. In: Math. Z. 224.4 (1997), pp. 567–601. url: http://dx.doi.org/10.1007/PL00004297.

[Nie07]

Zhaohu Nie. “A functor converting equivariant homology to homotopy”. In: Bull. Lond. Math. Soc. 39.3 (2007), pp. 499–508. arXiv: math/0603455. url: https://doi.org/10.1112/blms/bdm029.

[San03]

Pedro F. dos Santos. “A note on the equivariant Dold-Thom theorem”. In: J. Pure Appl. Algebra 183.1-3 (2003), pp. 299–312. url: http://dx.doi.org/10.1016/S0022-4049(03)00029-X.

[Sch17]

Stefan Schwede. “Equivariant properties of symmetric products”. In: J. Amer. Math. Soc. 30.3 (2017), pp. 673–711. arXiv: 1403.1355. url: https://doi.org/10.1090/jams/879.

[Tam13]

Dai Tamaki. “Two-sided bar constructions for partial monoids and applications to \(K\)-homology theory”. In: Noncommutative geometry and physics. 3. Vol. 1. Keio COE Lect. Ser. Math. Sci. World Sci. Publ., Hackensack, NJ, 2013, pp. 177–195. url: http://dx.doi.org/10.1142/9789814425018_0006.

[Tri16]

Arnav Tripathy. The Symmetric Power and Etale Realization Functors Commute. Thesis (Ph.D.)–Stanford University. ProQuest LLC, 2016, 46 pp. isbn: 979-8662-54897-8. arXiv: 1502.01104.