Cauchy Completion or Karoubi Envelope or Idempotent Completion

Lawvere は, 距離空間を enriched category とみなすことを提案した論文 [Law73] の section 3 で, 距離空間の Cauchy completeness を enriched category に拡張することを議論している。

例えば, 集合の category で enrich された category, つまり small category が Cauchy complete である必要十分条件は, idempotent が split することである。

この idempotent に関する条件は, 独立に調べられていて, idempotent complete という用語も一般的である。

  • Cauchy complete category or idempotent complete category

解説としては, Borceux と Dejan の [BD86] がある。

Cauchy complete にする操作は Cauchy completion あるいは idempotent completion であるが, Karoubi envelope と呼ばれることもある。

  • Cauchy completion or idempotent completion or Karoubi envelope

この MathOverflow の質問では, 2つの small category が Morita 同値になるための条件が聞かれているが, Finn Lawler の回答によると, それらの Cauchy completion が同値であることが, 必要十分条件である。

\(2\)-category に対しては, Douglas と Reutter の [DR] や Gaiotto と Johnson-Freyd の [GJ] がある。これら2つのアプローチは同値なようである。

Nikolić と Street と Tendas [NST21] は dg category の場合を調べている。



Francis Borceux and Dominique Dejean. “Cauchy completion in category theory”. In: Cahiers Topologie Géom. Différentielle Catég. 27.2 (1986), pp. 133–146.


Christopher L. Douglas and David J. Reutter. Fusion 2-categories and a state-sum invariant for 4-manifolds. arXiv: 1812.11933.


Davide Gaiotto and Theo Johnson-Freyd. Condensations in higher categories. arXiv: 1905.09566.


F. William Lawvere. “Metric spaces, generalized logic, and closed categories”. In: Rend. Sem. Mat. Fis. Milano 43 (1973), 135–166 (1974).


Branko Nikolić, Ross Street, and Giacomo Tendas. “Cauchy completeness for DG-categories”. In: Theory Appl. Categ. 37 (2021), Paper No. 28, 940–963. arXiv: 2012.10157. url: