作用素環と groupoid

Locally compact group を調べるときには, その上の Haar measure が重要な役割を果たしてきたが, groupoid 上の measure も古くから考えられているようである。一つの motivation としては, von Neumann algebra などの作用素環の研究に使うことがあったようである。

この手の話題については, Renault の [Ren80] や Paterson の [Pat99], そして Anantharaman-Delaroche と Renault の [AR00] などの本がある。

• measured groupoid
• measured groupoid の von Neumann algebra
• Lie groupoid の \(C^*\)-algebra

Landsman の [Lan] は, measured groupoid から von Neumann algebra を作ったり, Lie groupoid から \(C^*\)-algebra を作る構成が functor としてできることを述べていて, 全体像を把握するのに助かる。

Sauer の [Sau05] には, discrete measured groupoid の von Neumann algebra, そしてその性質が色々書いてある。目的は discrete measured groupoid の \(L^2\)-Betti 数を定義することであるが。

• discrete measured groupoid

Groupoidification を measure を持つ groupoid に拡張することを考えているのは, Censor と Grandini の [CG] である。そのため, 彼等は Haar groupoid の category を考え, その category の構造を調べ始めた。

References

[AR00]

C. Anantharaman-Delaroche and J. Renault. Amenable groupoids. Vol. 36. Monographies de L’Enseignement Mathématique [Monographs of L’Enseignement Mathématique]. With a foreword by Georges Skandalis and Appendix B by E. Germain. Geneva: L’Enseignement Mathématique, 2000, p. 196. isbn: 2-940264-01-5.

[CG]

Aviv Censor and Daniele Grandini. Weak Pullbacks of Topological Groupoids. arXiv: 1101.3219.

[Lan]

N. P. Landsman. Functoriality and Morita equivalence of operator algebras and Poisson manifolds associated to groupoids. arXiv: math-ph/0008036.

[Pat99]

Alan L. T. Paterson. Groupoids, inverse semigroups, and their operator algebras. Vol. 170. Progress in Mathematics. Birkhäuser Boston, Inc., Boston, MA, 1999, pp. xvi+274. isbn: 0-8176-4051-7. url: http://dx.doi.org/10.1007/978-1-4612-1774-9.

[Ren80]

Jean Renault. A groupoid approach to \(C^{\ast } \)-algebras. Vol. 793. Lecture Notes in Mathematics. Springer, Berlin, 1980, pp. ii+160. isbn: 3-540-09977-8.

[Sau05]

Roman Sauer. “\(L^2\)-Betti numbers of discrete measured groupoids”. In: Internat. J. Algebra Comput. 15.5-6 (2005), pp. 1169–1188. arXiv: math/0312411. url: http://dx.doi.org/10.1142/S0218196705002748.