関手の成す圏

ある小圏 \(X\) から別の圏 \(Y\) への関手の全体 \(\mathrm{Funct}(X,Y)\) は, natural transformation を morphism として圏になる。もちろん, 定義域が “大きな” 圏の場合は集合論的な問題が起きるので, Chorney らが [CD09; BCR07] で行なっているように small functor に制限して考えないといけない。

• small functor

この構成は様々な分野で使われる。代表的なのは次の二つだろう。

• sheaf や presheaf
• ある圏における図式の成す圏

名前がついている図式もある。

• simplicial object や cosimplicial object
• cubical object
• cubical diagram あるいは \(n\)-cube
• span や cospan

空間の cubical diagram は Goodwillie の関手の微積分で基本的な役割を果している。

また, 群 \(G\) の作用も \(G\) を object \(1\)つの圏とみなし, 関手と考えることができる。

• 群の空間への作用
• 群の圏への作用

References

[BCR07]

Georg Biedermann, Boris Chorny, and Oliver Röndigs. “Calculus of functors and model categories”. In: Adv. Math. 214.1 (2007), pp. 92–115. arXiv: math/0601221. url: http://dx.doi.org/10.1016/j.aim.2006.10.009.

[CD09]

Boris Chorny and William G. Dwyer. “Homotopy theory of small diagrams over large categories”. In: Forum Math. 21.2 (2009), pp. 167–179. arXiv: math/0607117. url: http://dx.doi.org/10.1515/FORUM.2009.009.