Effective Algebraic Topology

Čadek らの [Čad+14] によると, computational homotopy theory に対する effiective な approach としては, 3つのものがある。 Rolf Schön の [Sch91], Justin Smith の [Smi], そして Rubio, Sergeraert, Romero らによる一連の仕事である。 現在, 最も活発に研究されているのは, 最後のグループだろう。

Rubio と Segeraert [RS] は, effective object という概念を導入し, constructive homological algebra を展開している。 前半は, chain complex に関することであるが, 後半では simplicial set についても考えている。 Čadek らの [Čad+14] では, object with effective homology と呼ばれている。Simplicial set with effective homology などが考えられる。

• object with effective homology

Čadek らは, そのようなものに対し, homotopy set \([X,Y]\) を stable range で計算する algorithm を考えている。

Filakovský [Fil] は simplicial set with effective homology を simplicial set の図式に拡張している。

References

[Čad+14]

Martin Čadek et al. “Computing all maps into a sphere”. In: J. ACM 61.3 (2014), Art. 17, 44. arXiv: 1105.6257. url: https://doi.org/10.1145/2597629.

[Fil]

Marek Filakovský. Effective homology for homotopy colimit and cofibrant replacement. arXiv: 1410.3396.

[RS]

Julio Rubio and Francis Sergeraert. Constructive Homological Algebra and Applications. arXiv: 1208.3816.

[Sch91]

Rolf Schön. “Effective algebraic topology”. In: Mem. Amer. Math. Soc. 92.451 (1991), pp. vi+63. url: https://doi.org/10.1090/memo/0451.

[Smi]

Justin R. Smith. m-structures determine integral homotopy type. arXiv: math/9809151.